9.3.1. Определение рациональных функций и простых дробей. Рациональной функцией называется отношение двух многочленов
.
Здесь и дальше мы снова будем работать только с действительной переменной 
, коэффициенты обоих многочленов — действительные числа, 
, 
. Рациональная функция (дробь) называется правильной, если 
. если 
, рациональная дробь называется неправильной. Любая неправильная дробь может быть представлена в виде сумма многочлена степени 
и правильной дроби: 
, 
. нахождение целой части 
и остатка 
может быть выполнено, например, с помощью процедуры деления уголком. В дальнейшем будем предполагать, что 
— правильная дробь.
Простыми дробями называются рациональные функции следующих четырёх типов:
I.  . |
II.  . |
III.  . |
IV.  . |
9.3.2. Теорема о разложении правильной рациональной функции в сумму простых дробей. Пусть знаменатель правильной рациональной дроби представлен, согласно утверждению 6 пункта 9.2.3, в виде 
, 
. Тогда дробь 
единственным (с точностью до порядка слагаемых) образом может быть представлена как суммы простых дробей следующей структуры
.
Проиллюстрируем представление неправильной дроби в виде суммы многочлена и правильной дроби, и разложение правильной дроби на простые на примере. Дана функция 
. Здесь 
, 
. После деления уголком получим 
. Согласно теореме, получившаяся правильная дробь должна представляться в виде
, (*) где 
— неизвестные пока коэффициенты (неопределённые коэффициенты). Приводим сумму в правой части равенства (*) к общему знаменателю:
= 
. Дроби в правой и левой частях этого равенства равны, так как их знаменатели совпадают, должны быть равны и числители: 
Неопределённые коэффициенты находятся из этого равенства. Так, подставив в него значение 
, получим 
. Если подставить в это равенство корни трёхчлена 
, будут определены 
и 
. Такой приём нахождения неопределённых коэффициентов называют способом частных значений. Другой метод заключается в том, что раскрываются скобки в правой части равенства и приравниваются коэффициенты при одинаковых степенях 
:
.
Коэффициенты при степенях 
справа и слева от знака равенства:
Эту систему можно решать любым из известных способов. Воспользуемся правилом Крамера.
. 
. 
.
. 
. 
. 
.
. 
. 
.
. Окончательно, функция 
представляется в виде 
. В заключение отметим, что при решении задач целесообразно комбинировать методы частных значений и сравнения коэффициентов при степенях 
, т.е. исключать коэффициенты, найденные по частным значениям, из системы уравнений.
