Равнодействующая сила

За­да­ние № 1. На тело в инер­ци­аль­ной си­сте­ме от­сче­та дей­ству­ют две силы. Какой из век­то­ров, изоб­ра­жен­ных на пра­вом ри­сун­ке, пра­виль­но указы­ва­ет на­прав­ле­ние уско­ре­ния тела в этой си­сте­ме от­сче­та?

                  

Ре­ше­ние. По вто­ро­му за­ко­ну Нью­то­на, в инерциаль­ной си­сте­ме отсчета уско­ре­ние тела сона­прав­ле­но с рав­но­дей­ству­ю­щей всех сил, действу­ю­щих на тело. Из ри­сун­ков видно, что сумма век­то­ров  и   сонаправлена с век­то­ром №3.

Ответ: вектор №3.

За­да­ние № 2. Как на­прав­лен век­тор уско­ре­ния шара на нити в момент про­хож­де­ния его по­ло­же­ния рав­но­ве­сия при его сво­бод­ных колеба­ни­ях как ма­ят­ни­ка?

Ре­ше­ние. При сво­бод­ных ко­ле­ба­ни­ях шара на нити его уско­ре­ние в каж­дый мо­мент можно раз­ло­жить на две ком­по­нен­ты: тан­ген­ци­аль­ную, кото­рая обес­пе­чи­ва­ет из­ме­не­ние мо­ду­ля ско­ро­сти шара, и центростремитель­ную, ко­то­рая по­во­ра­чи­ва­ет век­тор ско­ро­сти. В мо­мент про­хож­де­ния по­ло­же­ния рав­но­ве­сия шар имеет мак­си­маль­ную по мо­ду­лю ско­рость, а зна­чит, в этот мо­мент тан­ген­ци­аль­ная со­став­ля­ю­щая уско­ре­ния об­ра­ща­ет­ся в ноль. Оста­ет­ся толь­ко цен­тро­стре­ми­тель­ная, ко­то­рая в положе­нии рав­но­ве­сия на­прав­ле­на вер­ти­каль­но вверх.

Ответ: вертикально вверх.

 

 

За­да­ние № 4. На тело, на­хо­дя­ще­е­ся на го­ри­зон­таль­ной плос­ко­сти, дей­ству­ют три го­ри­зон­таль­ные силы (см. ри­су­нок, вид свер­ху). Каков мо­дуль рав­но­дей­ству­ю­щей этих сил, если F₁=1H?

Ре­ше­ние. На ри­сун­ке обо­зна­че­на равнодействую­щая век­то­ров ,   и . По­сколь­ку мо­дуль век­то­ра силы равен 1Н, заключаем, что мас­штаб ри­сун­ка такой, что сторона од­но­го квад­ра­та сетки со­от­вет­ству­ет моду­лю силы 1Н. Таким об­ра­зом, модуль равнодей­ству­ю­щей равен, по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра, .

Ответ: .

За­да­ние № 5. На левом ри­сун­ке пред­став­ле­ны век­то­ры ско­ро­сти и уско­ре­ния тела в инерциаль­ной си­сте­ме от­сче­та.

Какой из че­ты­рех век­то­ров на пра­вом ри­сун­ке ука­зы­ва­ет на­прав­ле­ние вектора рав­но­дей­ству­ю­щей всех сил, дей­ству­ю­щих на это тело?

Ре­ше­ние. Со­глас­но вто­ро­му за­ко­ну Нью­то­на, в инер­ци­аль­ной системе от­сче­та уско­ре­ние тела со­на­прав­ле­но с рав­но­дей­ству­ю­щей всех сил . Таким об­ра­зом, рав­но­дей­ству­ю­щая всех сил, при­ло­жен­ных к телу, имеет на­прав­ле­ние 4.

Ответ: вектор №4

Задание № 6. Бру­сок лежит на ше­ро­хо­ва­той на­клон­ной опоре (см. рису­нок).  На него дей­ству­ют три силы: сила тяже­сти , сила ре­ак­ции опоры , и сила трения . Чему равен мо­дуль равнодействующей сил и ?

 

Ре­ше­ние. По­сколь­ку бру­сок не­по­дви­жен, рав­но­дей­ству­ю­щая всех сил, дей­ству­ю­щих на него, равна нулю: .

Сле­до­ва­тель­но, мо­дуль рав­но­дей­ству­ю­щей сил и  равен:

.

Ответ: .

За­да­ние № 9. Две силы 3H и 4H при­ло­же­ны к одной точке тела, угол между век­то­ра­ми сил равен 90⁰. Чему равен мо­дуль равнодействующей сил?

Ре­ше­ние. Силы и их рав­но­дей­ству­ю­щая ука­за­ны на ри­сун­ке.

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра, мо­дуль рав­но­дей­ству­ю­щей сил равен: .

Ответ: F=5H.

За­да­ние № 10. Под дей­стви­ем одной силы F₁ тело дви­жет­ся с ускорени­ем 4м/с². Под дей­стви­ем дру­гой силы F₂, на­прав­лен­ной противополож­но силе F₁, уско­ре­ние тела равно 3м/с². С каким ускоре­ни­ем тело будет дви­гать­ся при од­но­вре­мен­ном дей­ствии сил F₁ и F₂?

Ре­ше­ние. Со­глас­но вто­ро­му за­ко­ну Нью­то­на, уско­ре­ние тела пропорци­о­наль­но рав­но­дей­ству­ю­щей всех сил, дей­ству­ю­щих на него: . Силы F₁ и F₂, по усло­вию, на­прав­ле­ны про­ти­во­по­лож­но, поэто­му при их одновре­мен­ном дей­ствии тело будет дви­гать­ся с ускоре­ни­ем: .

Подставляя данные, получаем: а=4м/с²-3м/с²=1м/с².

Ответ: а=1м/с².

За­да­ние № 11. Тело под­ве­ше­но на двух нитях и на­хо­дит­ся в равновесии. Угол между ни­тя­ми равен 90⁰, а силы на­тя­же­ния нитей равны 3H и 4H. Чему равна сила тя­же­сти, дей­ству­ю­щая на тело?

Ре­ше­ние. Всего на тело дей­ству­ет три силы: сила тя­же­сти и силы натяжения двух нитей. Посколь­ку тело на­хо­дит­ся в рав­но­ве­сии, равнодейству­ю­щая всех трех сил долж­на рав­нять­ся нулю, а зна­чит, мо­дуль силы тя­же­сти равен: .

Ответ: F_Т= 5Н.

За­да­ние № 12. На ри­сун­ке пред­став­ле­ны три век­то­ра сил, ле­жа­щих в одной плос­ко­сти и при­ло­жен­ных к одной точке.

Мас­штаб ри­сун­ка таков, что сто­ро­на од­но­го квадра­та сетки со­от­вет­ству­ет мо­ду­лю силы 1H. Опре­де­ли­те мо­дуль век­то­ра рав­но­дей­ству­ю­щей трех век­то­ров сил.

Ре­ше­ние. Из ри­сун­ка видно, что равнодействую­щая сил  и сов­па­да­ет с вектором силы . Сле­до­ва­тель­но, мо­дуль равнодей­ству­ю­щей всех трех сил равен: .

Ис­поль­зуя мас­штаб ри­сун­ка, на­хо­дим окон­ча­тель­ный ответ.

.

Ответ: F=10H.

За­да­ние № 13. Как дви­жет­ся ма­те­ри­аль­ная точка при ра­вен­стве нулю суммы всех дей­ству­ю­щих на нее сил?

Ре­ше­ние. Со­глас­но вто­ро­му за­ко­ну Нью­то­на, в инер­ци­аль­ной си­сте­ме от­сче­та уско­ре­ние тела про­пор­ци­о­наль­но рав­но­дей­ству­ю­щей всех сил. Посколь­ку, по усло­вию, сумма все дей­ству­ю­щих на тело сил равна нулю, уско­ре­ние тела также равно нулю, а зна­чит, ско­рость тела может быть любой, но обя­за­тель­но по­сто­ян­ной во вре­ме­ни.

Ответ: ско­рость ма­те­ри­аль­ной точки может быть любой, но обязатель­но по­сто­ян­ной во вре­ме­ни.

Задание №14 На ри­сун­ке пред­став­ле­ны че­ты­ре век­то­ра сил. Мо­дуль век­то­ра силы F₁=3Н. Определите мо­дуль рав­но­дей­ству­ю­щей век­то­ров F₁, F₂, F₃ и F₄.

   Ре­ше­ние. Из ри­сун­ка видно, что равнодей­ству­ю­щая сил F₂, F₃ и F₄ равна нулю, а зна­чит, рав­но­дей­ству­ю­щая всех сил совпадает с век­то­ром F₁. Сле­до­ва­тель­но, модуль рав­но­дей­ству­ю­щей сил F₂, F₃ и F₄  также равен 3 Н.

        

 

Ответ: R_2,3,4=3Н.

Статика

За­да­ние № 1. На ри­сун­ке схе­ма­ти­че­ски изоб­ра­же­на лест­ни­ца АС, при­сло­нен­ная к стене. Чему равен мо­мент силы реакции опоры , дей­ству­ю­щей на лест­ни­цу, относитель­но точки С?

Ре­ше­ние.  Мо­мент силы равен про­из­ве­де­нию силы на плечо силы M=Fl. По­сколь­ку сила  приложе­на к точке С, ее плечо равно нулю, а зна­чит равен нулю и мо­мент этой силы от­но­си­тель­но точки С.

Ответ: M=0Нм.

За­да­ние № 2. К ле­во­му концу не­ве­со­мо­го стерж­ня при­креп­лен груз мас­сой 3кг (см. ри­су­нок). Стер­жень рас­по­ло­жи­ли на опоре, от­сто­я­щей от его ле­во­го конца на 0,2 длины стерж­ня. Чему равна масса груза, ко­то­рый надо под­ве­сить к пра­во­му концу стерж­ня, чтобы он на­хо­дил­ся в рав­но­ве­сии?

Ре­ше­ние. Одним из усло­вий равно­ве­сия стерж­ня яв­ля­ет­ся то, что пол­ный мо­мент всех внеш­них сил от­но­си­тель­но любой точки равен нулю. Рас­смот­рим мо­мен­ты сил от­но­си­тель­но точки опоры. Мо­мент, создаваемый левым гру­зом равен , он вра­ща­ет стер­жень про­тив ча­со­вой стрел­ки. Мо­мент, со­зда­ва­е­мый пра­вым гру­зом: — он вра­ща­ет по ча­со­вой.

Так как М₁=М₂, то получается: . Следовательно: . Тогда .

Ответ: m₂=0,75кг.

За­да­ние № 3. Ко­ро­мыс­ло весов, к ко­то­ро­му под­ве­ше­ны на нитях два тела (см. ри­су­нок), на­хо­дит­ся в рав­но­ве­сии.

Как нужно из­ме­нить массу пер­во­го тела, чтобы после уве­ли­че­ния плеча d₁ в 3 раза рав­но­ве­сие со­хра­ни­лось? (Ко­ро­мыс­ло и нити счи­тать не­ве­со­мы­ми.)

Ре­ше­ние. Усло­вие рав­но­ве­сия рычага имеет вид m₁d₁= m₂d₂. Сле­до­ва­тель­но, для того чтобы со­хра­нить рав­но­ве­сие при уве­ли­че­нии плеча d₁ в 3 раза, не­об­хо­ди­мо умень­шить массу пер­во­го груза в 3 раза.

Ответ: массу необходимо умень­шить в 3 раза.

 

За­да­ние № 5. Под дей­стви­ем силы тя­же­сти mg груза и силы F рычаг, пред­став­лен­ный на ри­сун­ке, на­хо­дит­ся в рав­но­ве­сии. Век­тор силы F перпен­ди­ку­ля­рен ры­ча­гу. Рас­сто­я­ния между точ­ка­ми при­ло­же­ния сил и точ­кой опоры, а также про­ек­ции этих рас­сто­я­ний на вертикальную и го­ри­зон­таль­ную оси ука­за­ны на ри­сун­ке. Определите модуль силы тя­же­сти, дей­ству­ю­щей на груз, если мо­дуль силы F=120Н.

Ре­ше­ние. Одним из усло­вий рав­но­ве­сия ры­ча­га яв­ля­ет­ся то, что пол­ный мо­мент всех внеш­них сил от­но­си­тель­но любой точки равен нулю. Рас­смот­рим мо­мен­ты сил от­но­си­тель­но опоры ры­ча­га. Мо­мент, создаваемый силой F, равен M₁=F·5м, и он вра­ща­ет рычаг по ча­со­вой стрел­ке. Мо­мент, со­зда­ва­е­мый гру­зом от­но­си­тель­но этой точки M₂ = mg · 0,8м, он вра­ща­ет про­тив ча­со­вой. При­рав­ни­вая мо­мен­ты М₁=М₂, по­лу­ча­ем вы­ра­же­ние для мо­ду­ля силы тя­же­сти: mg·0,8м=F·5м.  

Ответ: mg=750H.

За­да­ние № 6. Од­но­род­ный куб опи­ра­ет­ся одним реб­ром на пол, другим — на вер­ти­каль­ную стену (см. рисунок). Чему равно плечо силы упруго­сти N от­но­си­тель­но оси, проходящей через точку O₃ пер­пен­ди­ку­ляр­но плос­ко­сти ри­сун­ка?

Ре­ше­ние. Пле­чом силы от­но­си­тель­но неко­то­рой оси на­зы­ва­ет­ся рас­сто­я­ние от этой оси до линии дей­ствия силы. Плечо силы упру­го­сти от­но­си­тель­но оси, про­хо­дя­щей через точку O₃ пер­пен­ди­ку­ляр­но плос­ко­сти ри­сун­ка равно O₃В.

Ответ: l=O₃В.

За­да­ние № 7. Од­но­род­ный сплош­ной кубик уста­нов­лен так, что одним своим реб­ром он опи­ра­ет­ся на ше­ро­хо­ва­тую по­верх­ность вер­ти­каль­ной стены, а дру­гим реб­ром  на ше­ро­хо­ва­тый го­ри­зон­таль­ный пол. Кубик находит­ся в рав­но­ве­сии. На ри­сун­ке по­ка­за­ны силы, ко­то­рые дей­ству­ют на кубик. От­но­си­тель­но каких точек, обо­зна­чен­ных на ри­сун­ке, мо­мент силы трения ку­би­ка о пол равен нулю?

Ре­ше­ние. Мо­мент силы от­но­си­тель­но не­ко­то­рой точки опре­де­ля­ет­ся как про­из­ве­де­ние мо­ду­ля силы на плечо силы, где плечо — это длина перпен­ди­ку­ля­ра, опу­щен­но­го из рас­смат­ри­ва­е­мой нами точки, на линию дей­ствия силы. Мо­дуль силы тре­ния от­ли­чен от нуля. По­это­му момент этой силы равен нулю толь­ко от­но­си­тель­но таких точек, относитель­но ко­то­рых ее плечо равно нулю. То есть нас ин­те­ре­су­ют только точки, ле­жа­щие на линии дей­ствия силы. Это точки B и C.

Ответ: относительно точек B и C.

За­да­ние № 8. К лег­ко­му ры­ча­гу слож­ной формы с точ­кой вра­ще­ния в точке O (см. ри­су­нок) под­ве­шен груз мас­сой 2кг и при­креп­ле­на пру­жи­на, вто­рой конец которой при­креп­лен к не­по­движ­ной стене. Рычаг на­хо­дит­ся в рав­но­ве­сии, а сила на­тя­же­ния пружи­ны равна 15Н. На каком рас­сто­я­нии x от оси вра­ще­ния под­ве­шен груз, если рас­сто­я­ние от оси до точки креп­ле­ния пру­жи­ны равно 10см?

Ре­ше­ние. Одним из усло­вий рав­но­ве­сия ры­ча­га яв­ля­ет­ся то, что пол­ный мо­мент всех внеш­них сил от­но­си­тель­но любой точки равен нулю. Рас­смот­рим точку O. Вра­ща­ю­щий мо­мент, со­зда­ва­е­мый гру­зом от­но­си­тель­но этой точки, равен M₁=mgx, и он вра­ща­ет рычаг про­тив ча­со­вой стрел­ки. Мо­мент, со­зда­ва­е­мый пру­жи­ной, M₂=F_пружl, он вра­ща­ет по ча­со­вой. При­рав­ни­вая мо­мен­ты M₁=M₂, по­лу­ча­ем mgx=F_пружl.  

Ответ: х=0,075м.

За­да­ние № 9. К тон­ко­му од­но­род­но­му стерж­ню в точ­ках 1 и 3 прило­же­ны силы F₁=20H и F₂=60H. Через какую точку долж­на про­хо­дить ось вра­ще­ния, чтобы стер­жень на­хо­дил­ся в рав­но­ве­сии? Массой стерж­ня пре­не­бречь.

 

 

Ре­ше­ние. Чтобы стер­жень не вра­щал­ся во­круг не­ко­то­рой точки, пол­ный мо­мент всех внеш­них сил от­но­си­тель­но этой точки дол­жен быть равен нулю. Из этого усло­вия и определим, через какую точку не­об­хо­ди­мо про­ве­сти ось вра­ще­ния. Посколь­ку у нас всего две силы, можно сразу за­клю­чить, что ис­ко­мая точка на­хо­дит­ся слева от точки 3, иначе обе силы вра­ща­ли бы рычаг по часо­вой стрел­ке, и не урав­но­ве­ши­ва­ли бы друг друга. Обо­зна­чим расстояние между лю­бы­ми двумя со­сед­ни­ми точ­ка­ми через l, а рас­сто­я­ние от точки 3 до ис­ко­мой точки через x. Тогда сила F₂ вра­ща­ет стер­жень против ча­со­вой стрел­ки и ее мо­мент равен M₂=F_2·x. Сила F₁ вра­ща­ет стержень по ча­со­вой, и ее мо­мент равен M₁=F_1·(x+2l). Так как M₁=M₂,то F_1·(x+2l)= F_2·x. Открываем скопки и получаем: .

Следовательно: .

 Таким образом, ось вра­ще­ния нужно рас­по­ло­жить в точке 4.

Ответ: точка №4.

За­да­ние № 10. На по­верх­но­сти воды пла­ва­ет бру­сок мас­сой 50г. Чему равна вы­тал­ки­ва­ю­щая сила, дей­ству­ю­щая на бру­сок, и как она направ­ле­на?

Ре­ше­ние. На пла­ва­ю­щий бру­сок дей­ству­ет две силы: сила тя­же­сти и вы­тал­ки­ва­ю­щая сила Ар­хи­ме­да. По­сколь­ку бру­сок по­ко­ит­ся, со­глас­но второ­му за­ко­ну Нью­то­на, эти силы урав­но­ве­ше­ны. Сле­до­ва­тель­но, выталки­ва­ю­щая сила на­прав­ле­на вверх и равна по ве­ли­чи­не силе тя­же­сти, дей­ству­ю­щей на бру­сок: F_A=F_T=mg. Следовательно F_A=0,05кг·10/с²=0,5Н.

Ответ: F_A=0,5Н, направлена вверх.

За­да­ние № 11. Как из­ме­нит­ся сила Ар­хи­ме­да при по­гру­же­нии тела на глу­би­ну, вдвое боль­шую от ис­ход­но­го уров­ня? Жид­кость счи­тай­те несжи­ма­е­мой. Тело из­на­чаль­но пол­но­стью по­гру­же­но в воду.

Ре­ше­ние. Со­глас­но за­ко­ну Ар­хи­ме­да, вы­тал­ки­ва­ю­щая сила, действу­ю­щая на по­гру­жен­ное в жид­кость тело равна весу вы­тес­нен­ной жид­ко­сти: , здесь ρ -плот­ность жид­ко­сти, а V_Т -объем тела. По­сколь­ку жид­кость можно счи­тать не­сжи­ма­е­мой, ее плот­ность с глубиной не из­ме­ня­ет­ся, а зна­чит, оста­ет­ся не­из­мен­ной и сила Ар­хи­ме­да.

Ответ: сила Архимеда не измениться.

За­да­ние № 12. На же­лез­ной до­ро­ге для на­тя­же­ния про­во­дов использу­ет­ся по­ка­зан­ная на ри­сун­ке си­сте­ма, состоя­щая из лег­ких бло­ков и тро­сов, на­тя­ги­ва­е­мых тя­же­лым грузом. Чему равна сила на­тя­же­ния провода? Тре­ние в осях бло­ков мало. Блоки и нити счи­тай­те не­ве­со­мы­ми.

Ре­ше­ние. Си­сте­ма, пред­став­лен­ная на ри­сун­ке, со­сто­ит из трех блоков: двух по­движ­ных и од­но­го непо­движ­но­го. Назначе­ние не­по­движ­но­го блока заключа­ет­ся толь­ко в том, что он ме­ня­ет на­прав­ле­ние действия силы, од­на­ко ни­ка­ко­го вы­иг­ры­ша в силе при этом не воз­ни­ка­ет. Каждый по­движ­ный блок, на­про­тив, дает вы­иг­рыш в силе.

Опре­де­лим силу, с ко­то­рой на­тя­ну­та пер­вая нить. Груз рас­тя­ги­ва­ет ее с силой: T=mg, следовательно ,T=10кг·10м/с²=100Н.

Рас­смот­рим те­перь пер­вый по­движ­ный блок. Так как вся си­сте­ма ста­тич­на, пол­ная сила, дей­ству­ю­щая на этот блок, долж­на быть равна нулю. Пер­вая нить тянет его на­пра­во с сум­мар­ной силой 2Т, зна­чит, натяже­ние вто­рой нити тоже долж­но быть равно 2Т. Ана­ло­гич­ное рассмотре­ние для вто­ро­го по­движ­но­го блока по­ка­зы­ва­ет, что на­тя­же­ние про­во­да долж­но быть равно F_H=4Т=4·100Н=400Н.

Ответ: F_H=400Н.

За­да­ние № 13. Чтобы урав­но­ве­сить на лёгкой рейке с по­мо­щью двух не­ве­со­мых бло­ков оди­на­ко­вые грузы массой М каж­дый, к нити, пе­ре­ки­ну­той через левый блок, и к оси пра­во­го блока не­обходи­мо при­ло­жить вер­ти­каль­ные силы F₁ и F₂ (см. ри­су­нок). Рассто­я­ния между чёрными точ­ка­ми на рейке одинако­вы, тре­ние от­сут­ству­ет, нити нерастяжи­мы. Сравните силы F₁ и F₂.

Ре­ше­ние. Одним из усло­вий рав­но­ве­сия тела яв­ля­ет­ся ра­вен­ство нулю пол­но­го мо­мен­та всех внеш­них сил от­но­си­тель­но любой точки. Рассмот­рим вра­ща­ю­щие мо­мен­ты всех сил от­но­си­тель­но опоры. Это удобно, так как в этом слу­чае нам не по­тре­бу­ет­ся рас­счи­ты­вать силу реакции опоры на балку, ко­то­рая со­зда­ва­ла бы не­ну­ле­вой мо­мент относитель­но любой дру­гой точки на рейке.

Мо­мент силы равен про­из­ве­де­нию мо­ду­ля силы на плечо. Обозначим рас­сто­я­ние между чер­ны­ми точ­ка­ми через l. Левый груз создает мо­мент, по­во­ра­чи­ва­ю­щий балку про­тив ча­со­вой стрел­ки и рав­ный М₁=Mg·2l. Левый блок яв­ля­ет­ся не­по­движ­ным, так что он не дает выигрыша в силе. По­это­му левая нить со­зда­ет мо­мент, также поворачиваю­щий рейку про­тив ча­со­вой стрел­ки и рав­ный М₁=F₁·l. Пра­вый груз стре­мит­ся по­вер­нуть рейку по ча­со­вой стрел­ке и со­зда­ет мо­мент М₂=Mg·l. На­ко­нец, пра­вый блок — по­движ­ный. Сле­до­ва­тель­но, сила, с которой пра­вая нитка тянет рейку, в два раза мень­ше, чем сила, с ко­то­рой тянут пра­вый блок. Таким об­ра­зом, эта нить со­зда­ет мо­мент . При­рав­ни­вая мо­мен­ты по ча­со­вой и про­тив ча­со­вой, по­лу­ча­ем: Mg·2l+F₁·l=Mg·l+ F₂l. От­ку­да, после со­кра­ще­ния на l, имеем: F₂-F₁=Mg.

Следовательно, сила F₂ больше F₁.

Ответ: F₂&gt . F₁.

За­да­ние № 14. Од­но­род­ная сплош­ная балка мас­сой M урав­но­ве­ше­на на ост­ро­ко­неч­ной опоре. Опору передви­га­ют впра­во на1/4 длины балки (см. ри­су­нок). Какую силу F тре­бу­ет­ся при­ло­жить к концу В балки для сохране­ния рав­но­ве­сия?

Ре­ше­ние. Одним из усло­вий рав­но­ве­сия тела яв­ля­ет­ся ра­вен­ство нулю пол­но­го мо­мен­та всех внеш­них сил от­но­си­тель­но любой точки. Рассмот­рим вра­ща­ю­щие мо­мен­ты от­но­си­тель­но­го но­во­го по­ло­же­ния точки опоры. На балку дей­ству­ет три силы: сила тя­же­сти, сила ре­ак­ции опоры (она не со­зда­ет мо­мен­та, так как ее плечо равно нулю) и внеш­няя силаF. Сила тя­же­сти при­ло­же­на к цен­тру балки и вра­ща­ет ее про­тив часовой стрел­ки. Её мо­мент равен M₁ = MgL/4. Сила Fдолж­на вра­щать балку по ча­со­вой и ее мо­мент равен (счи­тая, что сила на­прав­ле­на вер­ти­каль­но) M₂ = FL/4. При­рав­ни­вая мо­мен­ты M₁=M₂, по­лу­ча­ем, что не­об­хо­ди­мая сила равна F=Mg.

Ответ: F=Mg.

За­да­ние № 15. Ак­ва­ри­ум, изоб­ражённый на ри­сун­ке, до­вер­ху наполни­ли водой. Най­ди­те дав­ле­ние воды на дно аквари­ума. Плот­ность воды равна ρ. Ат­мо­сфер­ное давле­ние не учи­ты­вать.

Ре­ше­ние. Гид­ро­ста­ти­че­ское дав­ле­ние стол­ба жид­ко­сти опре­де­ля­ет­ся толь­ко вы­со­той стол­ба и плотно­стью жид­ко­сти, от пло­ща­ди дна оно не зависит: .

 

 

Ответ: .

За­да­ние № 16. Ак­ва­ри­ум, изоб­ражённый на ри­сун­ке, до­вер­ху наполни­ли водой. Най­ди­те силу дав­ле­ния воды на дно ак­ва­ри­ума. Плот­ность воды равна ρ. Атмосферное дав­ле­ние не учи­ты­вать

Ре­ше­ние. Гид­ро­ста­ти­че­ское дав­ле­ние столба жид­ко­сти опре­де­ля­ет­ся толь­ко вы­со­той стол­ба и плот­но­стью жид­ко­сти, от пло­ща­ди дна оно не за­ви­сит: .Сила дав­ле­ния воды на дно ак­ва­ри­ума:

F=pS, где S=2a·2a=4a². Следовательно: F=ρga4a²=4ρga³.

Ответ: F=4ρga³.

За­да­ние № 17. Три ша­ри­ка оди­на­ко­вых раз­ме­ров по­гру­же­ны в воду и удер­жи­ва­ют­ся ни­тя­ми на раз­ной глу­би­не (см. рису­нок). Сравните выталкивающие силы действующие на шарики.

Ре­ше­ние. При по­гру­же­нии тел в жид­кость на них дей­ству­ет выталки­ва­ю­щая сила -сила Ар­хи­ме­да . Она пропорциональ­на объёму по­гружённой в жид­кость части тела. Ша­ри­ки имеют оди­на­ко­вый объём, сле­до­ва­тель­но, на все ша­ри­ки дей­ству­ет одинако­вая ар­хи­ме­до­ва сила.

Ответ: выталкивающие силы одинаковы во всех случаях.

За­да­ние № 18. В воде на­хо­дят­ся три ша­ри­ка оди­на­ко­вой массы, удер­жи­ва­е­мые ни­тя­ми (см. ри­су­нок). Сравните выталкивающие силы действующие на шарики.

Ре­ше­ние. При по­гру­же­нии тел в жид­кость на них дей­ству­ет вы­тал­ки­ва­ю­щая сила -сила Архимеда. Она все­гда на­прав­ле­на вверх и пропорци­о­наль­на объёму по­гружённой в жид­кость части тела . Так как V₃&gt .V₂&gt .V₁, то F_A3&gt . F_A2 &gt . F_A1.

Ответ: F_A3&gt . F_A2 &gt . F_A1.

За­да­ние № 19. Лёгкая па­лоч­ка может вра­щать­ся на шар­ни­ре во­круг го­ри­зон­таль­ной оси, про­хо­дя­щей через точку О (см. ри­су­нок). В точке А на па­лоч­ку дей­ству­ют силой F ₁. Под каким номером нужно приложить силу в точке В для того, чтобы па­лоч­ка находилась в рав­но­ве­сии?

Ре­ше­ние. В дан­ном слу­чае для того, чтобы па­лоч­ка на­хо­ди­лась в рав­но­ве­сии, долж­но вы­пол­нять­ся пра­ви­ло мо­мен­тов сил для вер­ти­каль­ных про­ек­ций сил, дей­ству­ю­щих на тело: F_1yl₁=F_2yl₂. Посколь­ку плечо AO = 2OB, вер­ти­каль­ная про­ек­ция силы F ₂ долж­на быть в 2 раза боль­ше вер­ти­каль­ной про­ек­ции силы F ₁.

Ответ: сила №2.

Сила тяжести

 

За­да­ние № 4. Во время вы­ступ­ле­ния гим­наст­ка от­тал­ки­ва­ет­ся от трам­пли­на (этап 1), де­ла­ет сальто в возду­хе (этап 2) и при­зем­ля­ет­ся на ноги (этап 3). На каком(их) этапе(ах) дви­же­ния гим­наст­ка может испытывать со­сто­я­ние, близ­кое к не­ве­со­мо­сти?

Ре­ше­ние. Вес — это сила, с ко­то­рой тело давит на опору или растягива­ет под­вес. Со­сто­я­ние невесомо­сти заклю­ча­ет­ся в том, что у тела от­сут­ству­ет вес, при этом сила тя­же­сти ни­ку­да не про­па­да­ет. Когда гимнаст­ка оттал­ки­ва­ет­ся от трам­пли­на, она давит на него. Когда гим­наст­ка при­зем­ля­ет­ся на ноги, то она давит на землю. Трам­плин и земля иг­ра­ют роль опоры, по­это­му на эта­пах 1 и 3 она не на­хо­дит­ся в со­сто­я­нии, близком к невесомо­сти. На­про­тив, во время по­ле­та (этап 2) у гим­наст­ки по­про­сту отсутству­ет опора, если пре­не­бречь сопротив­ле­ни­ем воз­ду­ха. Раз нет опоры, то нет и веса, а зна­чит, гим­наст­ка дей­стви­тель­но ис­пы­ты­ва­ет со­сто­я­ние, близ­кое к не­ве­со­мо­сти.

Ответ: толь­ко на 2 этапе.

За­да­ние № 5. Име­ет­ся два суж­де­ния об усло­вии на­хож­де­ния тела в со­сто­я­нии не­ве­со­мо­сти:

А. Тело может на­хо­дить­ся в со­сто­я­нии не­ве­со­мо­сти, если оно рав­но­мер­но дви­жет­ся по кру­го­вой ор­би­те во­круг пла­не­ты.

Б. Тело на­хо­дит­ся в со­сто­я­нии не­ве­со­мо­сти, если оно па­да­ет в од­но­род­ном поле силы тя­же­сти в от­сут­ствие силы тре­ния. Какое суж­де­ние верно?

Ре­ше­ние. Не­ве­со­мость-со­сто­я­ние тела, при ко­то­ром его вес равен нулю. Про­ана­ли­зи­ру­ем оба сужде­ния.

Суж­де­ние А. При дви­же­нии тела по кру­го­вой ор­би­те во­круг Земли на тело дей­ству­ют сила тя­же­сти и центростреми­тель­ное уско­ре­ние, они урав­но­ве­ши­ва­ют друг друга, сле­до­ва­тель­но, вес тела равен нулю, по­это­му тело на­хо­дит­ся в со­сто­я­нии не­ве­со­мо­сти.

Суж­де­ние Б. При па­де­нии в од­но­род­ном поле силы тя­же­сти в отсутствие силы тре­ния на тело не дей­ству­ет сила ре­ак­ции опоры, следователь­но вес тела равен нулю, по­это­му тело на­хо­дит­ся в со­сто­я­нии не­ве­со­мо­сти.

Ответ: оба суждения верны.

За­да­ние№6. Ме­тео­рит про­ле­та­ет около Земли за пре­де­ла­ми атмосфе­ры. Как на­прав­лен век­тор уско­ре­ния ме­тео­ри­та в тот мо­мент, когда век­тор силы гра­ви­та­ци­он­но­го при­тя­же­ния Земли пер­пен­ди­ку­ля­рен век­то­ру ско­ро­сти ме­тео­ри­та?

Ре­ше­ние. Со­глас­но вто­ро­му за­ко­ну Нью­то­на, уско­ре­ние тела сонаправ­ле­но с рав­но­дей­ству­ю­щей всех сил. По­сколь­ку ме­тео­рит пролетает около Земли за пре­де­ла­ми ат­мо­сфе­ры, на него дей­ству­ет толь­ко сила гра­ви­та­ци­он­но­го при­тя­же­ния со сто­ро­ны Земли. Таким об­ра­зом, вектор уско­ре­ния ме­тео­ри­та на­прав­лен по на­прав­ле­нию век­то­ра силы.

Ответ: век­тор уско­ре­ния ме­тео­ри­та на­прав­лен по на­прав­ле­нию векто­ра силы.

За­да­ние № 7. Кос­ми­че­ский ко­рабль уле­та­ет от Земли с выключенны­ми дви­га­те­ля­ми. Как на­прав­лен век­тор уско­ре­ния ко­раб­ля в тот мо­мент, когда век­тор силы гра­ви­та­ци­он­но­го при­тя­же­ния Земли направ­лен под углом 120⁰ к век­то­ру ско­ро­сти ко­раб­ля? Дей­ствие остальных тел на ко­рабль пре­не­бре­жи­мо мало.

Ре­ше­ние. Со­глас­но вто­ро­му за­ко­ну Нью­то­на, уско­ре­ние тела сонаправ­ле­но с рав­но­дей­ству­ю­щей всех сил. По­сколь­ку дей­стви­ем остальных тел на ко­рабль можно пре­не­бречь, на него дей­ству­ет толь­ко сила гра­ви­та­ци­он­но­го при­тя­же­ния со сто­ро­ны Земли. Таким об­ра­зом, вектор уско­ре­ния ко­раб­ля на­прав­лен по на­прав­ле­нию век­то­ра силы.

Ответ: по на­прав­ле­нию век­то­ра силы.

За­да­ние № 8. У по­верх­но­сти Земли на кос­мо­нав­та дей­ству­ет сила тя­го­те­ния 720Н. Какая сила тя­го­те­ния дей­ству­ет со сто­ро­ны Земли на того же кос­мо­нав­та в кос­ми­че­ском ко­раб­ле, дви­жу­щем­ся по кру­го­вой ор­би­те во­круг Земли на рас­сто­я­нии трех зем­ных ра­ди­у­сов от ее цен­тра?

Ре­ше­ние. По за­ко­ну Все­мир­но­го тя­го­те­ния сила при­тя­же­ния космонав­та со сто­ро­ны Земли об­рат­но про­пор­ци­о­наль­на квад­ра­ту расстояния между ним и цен­тром Земли: . У по­верх­но­сти Земли это рас­сто­я­ние сов­па­да­ет с ра­ди­у­сом пла­не­ты (R=R_Зем). На космическом ко­раб­ле, по усло­вию, оно в три раза боль­ше (R=3R_Зем). Таким об­ра­зом, сила тя­го­те­ния со сто­ро­ны Земли, дей­ству­ю­щая на космонав­та на кос­ми­че­ском ко­раб­ле, в 9 раз мень­ше, чем у по­верх­но­сти Земли, то есть: F₂=720Н/9=80Н.

Ответ: F₂=80Н.

За­да­ние № 10. Кос­ми­че­ская ра­ке­та стар­ту­ет с по­верх­но­сти Луны и дви­жет­ся вер­ти­каль­но вверх. На каком рас­сто­я­нии от лун­ной по­верх­но­сти сила гра­ви­та­ци­он­но­го при­тя­же­ния ра­ке­ты Луной умень­шит­ся в 4 раза по срав­не­нию с силой при­тя­же­ния на лун­ной по­верх­но­сти? (Рас­сто­я­ние выража­ет­ся в ра­ди­у­сах Луны R). Из­ме­не­ни­ем массы ра­ке­ты из-за рас­хо­да топ­ли­ва пре­не­бречь.

Ре­ше­ние. Если пре­не­бречь из­ме­не­ни­ем массы ра­ке­ты, вы­зван­ным рас­хо­дом топ­ли­ва на взлет, то ре­ше­ние вы­гля­дит сле­ду­ю­щим об­ра­зом. Сила гра­ви­та­ци­он­но­го при­тя­же­ния ра­ке­ты Луной по за­ко­ну Все­мир­но­го тя­го­те­ния об­рат­но про­пор­ци­о­наль­на квад­ра­ту рас­сто­я­ния между ра­ке­той и цен­тром Луны . На лун­ной по­верх­но­сти это рас­сто­я­ние совпа­да­ет с ра­ди­у­сом Луны- R_Л. Для того чтобы сила при­тя­же­ния уменьшилась в 4 раза при не­из­мен­ной массе ра­ке­ты, рас­сто­я­ние долж­но уве­ли­чить­ся в 2 раза, то есть стать рав­ным 2R_Л. Сле­до­ва­тель­но, необходимо под­нять­ся на вы­со­ту R=2R_Л-R_Л = R_Л  над по­верх­но­стью Луны.

Ответ: R=R_Л.

За­да­ние № 11. Два ис­кус­ствен­ных спут­ни­ка Земли мас­сой 200кг и 400кг об­ра­ща­ют­ся по кру­го­вым ор­би­там оди­на­ко­во­го ра­ди­у­са. Сравните мо­ду­ли ско­ро­стей этих спут­ни­ков.

Ре­ше­ние. Пусть M -масса Земли, R- ра­ди­ус ор­би­ты, υ- ско­рость движения тела, m -масса тела.

При вра­ще­нии лю­бо­го тела по окруж­но­сти во­круг Земли его скорость равна первой космической . Таким образом, ско­рость обращения вокруг земли не за­ви­сит от массы тела, а за­ви­сит толь­ко от ради­у­са вра­ще­ния. Сле­до­ва­тель­но, ско­ро­сти спут­ни­ков, вра­ща­ю­щих­ся по кру­го­вым ор­би­там оди­на­ко­во­го ра­ди­у­са равны.

Ответ: ско­ро­сти спут­ни­ков равны.

За­да­ние № 12. Два ис­кус­ствен­ных спут­ни­ка об­ра­ща­ют­ся по круговым ор­би­там оди­на­ко­во­го радиуса: первый спут­ник-во­круг Земли, вто­рой-во­круг Луны. Масса Луны в 81 раз мень­ше массы Земли. Сравните модули ско­ро­стей этих спут­ни­ков.

Ре­ше­ние. При вра­ще­нии лю­бо­го тела по окруж­но­сти во­круг планеты его скорость определяется по формуле: . По условию задания: R₁=R₂=R, M_З=81M_Л. Тогда: , а . Находим отношение скоростей. .

Ответ: .

За­да­ние № 13. Две пла­не­ты с оди­на­ко­вы­ми мас­са­ми об­ра­ща­ют­ся по кру­го­вым ор­би­там во­круг звез­ды. Для пер­вой из них сила при­тя­же­ния к звез­де в 4 раза боль­ше, чем для вто­рой. Ка­ко­во отношение ра­ди­у­сов орбит первой и вто­рой пла­нет?

Ре­ше­ние. По за­ко­ну Все­мир­но­го тя­го­те­ния сила при­тя­же­ния планеты к звез­де об­рат­но пропорцио­наль­на квад­ра­ту ра­ди­у­са ор­би­ты . Таким об­ра­зом, в силу ра­вен­ства масс пла­нет M_1П=M_2П отно­ше­ние сил при­тя­же­ния к звез­де пер­вой и вто­рой пла­нет об­рат­но пропор­ци­о­наль­но отноше­нию квад­ра­тов ра­ди­у­сов орбит: .

По усло­вию, сила при­тя­же­ния для пер­вой пла­не­ты к звез­де в 4 раза больше, чем для вто­рой: F₁=4F₂ а зна­чит:

. Отсюда .

Ответ: .

За­да­ние №14. Две звез­ды оди­на­ко­вой массы m при­тя­ги­ва­ют­ся друг к другу с си­ла­ми, рав­ны­ми по мо­ду­лю F. Чему равен мо­дуль сил притяжения между дру­ги­ми двумя звёздами, если рас­сто­я­ние между их цен­тра­ми такое же, как и в пер­вом слу­чае, а массы звёзд равны 2 m и 3 m?

Ре­ше­ние. По за­ко­ну все­мир­но­го тя­го­те­ния сила при­тя­же­ния между те­ла­ми про­пор­ци­о­наль­на мас­сам тел и об­рат­но про­пор­ци­о­наль­на квад­ра­ту рас­сто­я­ния между те­ла­ми: . Сле­до­ва­тель­но, если R₁=R₂, а M₁=2m и M₂=3m то: .

Ответ: F₁=6F.

 

Сила упругости

За­да­ние №1. На­сколь­ко рас­тя­нет­ся пру­жи­на, жёсткость ко­то­рой k=1000Н/м под дей­стви­ем силы 100H? Пру­жи­ну счи­тай­те иде­аль­ной.

Ре­ше­ние. Удли­не­ние пру­жи­ны жёст­ко­стью k=1000Н/м под действием силы F=100H можно опре­де­лить по фор­му­ле: .

.

Ответ: Δх=0,1м.

 

За­да­ние № 4. Две пру­жи­ны рас­тя­ги­ва­ют­ся оди­на­ко­вы­ми силами F. Жест­кость пер­вой пру­жи­ны k₁ в 1,5 раза боль­ше жест­ко­сти вто­рой пружины k₂. Удли­не­ние пер­вой пру­жи­ны равно Δx₁, чему равно удли­не­ние вто­рой Δx₂?

Ре­ше­ние. Со­глас­но за­ко­ну Гука, рас­тя­же­ние пру­жи­ны свя­за­но с коэффи­ци­ен­том жест­ко­сти и рас­тя­ги­ва­ю­щей силой со­от­но­ше­ни­ем F=kΔx. По­сколь­ку пру­жи­ны рас­тя­ги­ва­ют оди­на­ко­вые по ве­ли­чи­не силы F₁=F₂, то k₁Δx₁= k₂Δx_2. Отсюда удли­не­ние вто­рой пру­жи­ны равно: Δx₂=k₁Δx₁/k_2. Так как k₁= 1,5k₂ то Δx₂=1,5k₂Δx₁/k₂=1,5Δx₁.

Ответ: Δx₂=1,5Δx₁.

За­да­ние № 5. К си­сте­ме из ку­би­ка мас­сой 1кг и двух пру­жин приложе­на по­сто­ян­ная горизонтальная сила F (см. рисунок). Между ку­би­ком и опорой тре­ния нет. Си­сте­ма покоит­ся. Жест­кость пер­вой пру­жи­ны k₁=300Н/м. Жест­кость вто­рой пружи­ны k₂=600Н/м. Удлине­ние пер­вой пру­жи­ны равно 2см. Определите мо­дуль силы F.

Ре­ше­ние. По­сколь­ку тре­ния между ку­би­ком и опо­рой нет, а кубик по­ко­ит­ся (его уско­ре­ние равно нулю), вто­рой закон Нью­то­на для ку­би­ка в про­ек­ции на го­ри­зон­таль­ную ось при­об­ре­та­ет вид: k₂Δx₂-k₁Δx₁=0.

С дру­гой сто­ро­ны, по тре­тье­му за­ко­ну Нью­то­на, сила, с ко­то­рой растягивают вто­рую пру­жи­ну, равна воз­ни­ка­ю­щей в пру­жи­не силе упругости: F= k₂Δx₂.

Таким об­ра­зом, F=k₁x₁. Подставляя необходимые данные, получается: F=300Н/м∙0,02м=6Н.

Ответ: F=6Н.

За­да­ние № 6. Упру­гий ре­зи­но­вый жгут сло­жи­ли вчет­ве­ро. Как измени­лась при этом жест­кость жгута?

Ре­ше­ние. При раз­ре­за­нии ре­зи­но­во­го жгута жест­ко­сти k на n равных ча­стей, жест­кость каж­до­го куска будет равна nk, по­сколь­ку придется при­кла­ды­вать в n раз боль­шее уси­лие, чтобы рас­тя­нуть его на преж­нее удли­не­ние. При скла­ды­ва­нии рядом n оди­на­ко­вых жгу­тов жесткости k, их общая жест­кость также ока­зы­ва­ет­ся в n раз боль­ше, по преж­ней при­чи­не. Жгут, сло­жен­ный вчет­ве­ро, можно пред­ста­вить как четы­ре рядом ле­жа­щих жгута каж­дый в че­ты­ре раза ко­ро­че исходно­го. Сле­до­ва­тель­но, жест­кость сло­жен­но­го жгута стала в 4∙4=16 раз боль­ше исход­ной.

Ответ: жёсткость жгута уве­ли­чи­лась в 16 раз.

За­да­ние № 7. На ри­сун­ке пред­став­лен гра­фик за­ви­си­мо­сти модуля силы упру­го­сти, возникаю­щей при рас­тя­же­нии пру­жи­ны, от ее деформа­ции. Определите жест­кость этой пружи­ны.

Ре­ше­ние. Со­глас­но за­ко­ну Гука, сила упру­го­сти, воз­ни­ка­ю­щая при де­фор­ма­ции тела, пропорциональ­на этой де­фор­ма­ции F_Упр=kΔx. Взяв любую точку на графике, для жест­ко­сти пру­жи­ны имеем .  

Ответ: k=100Н/м.

За­да­ние № 8. К пру­жи­не школь­но­го ди­на­мо­мет­ра под­ве­шен груз мас­сой 0,1кг. При этом пру­жи­на удли­ни­лась на 2,5см. Опре­де­ли­те удлинение пру­жи­ны при до­бав­ле­нии ещё двух гру­зов по 0,1кг. Удли­не­ние ука­жи­те в сан­ти­мет­рах.

Ре­ше­ние. По за­ко­ну Гука, удли­не­ние пру­жи­ны прямо пропорциональ­но приложен­ной силе: F_Упр=kΔx. В дан­ном слу­чае сила, при­ло­жен­ная к пру­жи­не, это сила тя­же­сти. Найдём ко­эф­фи­ци­ент жёсткости k пружины, поль­зу­ясь дан­ны­ми пер­во­го опыта: F_Упр1=kΔx₁.  

Опре­де­лим рас­тя­же­ние пру­жи­ны во вто­ром слу­чае: .

 

Ответ: Δx₂=7,5см.

За­да­ние № 9. Тело мас­сой m висит на пру­жи­не жёстко­сти k. Какова будет деформация пружины, если на пру­жи­ну с вдвое мень­шей жёсткостью под­ве­сить груз с вдвое мень­шей мас­сой?

Ре­ше­ние. На тело дей­ству­ет две силы: сила тя­же­сти, дей­ству­ю­щая вниз и сила упру­го­сти, дей­ству­ю­щая вверх . они урав­но­ве­ши­ва­ют друг друга. Найдём рас­тя­же­ние пру­жи­ны в пер­вом слу­чае:

.

Найдём рас­тя­же­ние пру­жи­ны во вто­ром слу­чае: .

Ответ: рас­тя­же­ния пру­жин в пер­вом и вто­ром слу­ча­ях равны.

Сила трения

За­да­ние № 1. На бру­сок мас­сой 5кг, дви­жу­щий­ся по го­ри­зон­таль­ной поверхно­сти, дей­ству­ет сила тре­ния сколь­же­ния 20Н. Чему будет равна сила тре­ния сколь­же­ния после умень­ше­ния массы тела в 2 раза, если коэффи­ци­ент тре­ния не изме­нит­ся?

Ре­ше­ние. Сила тре­ния сколь­же­ния свя­за­на с ко­эф­фи­ци­ен­том тре­ния и силой ре­ак­ции опоры со­от­но­ше­ни­ем F_Тр=μN. Для брус­ка, дви­жу­ще­го­ся по горизонтальной поверх­но­сти, по вто­ро­му за­ко­ну Нью­то­на, N=mg. Тогда F=μmg.

       Таким об­ра­зом, сила тре­ния сколь­же­ния пропорциональна про­из­ве­де­нию ко­эф­фи­ци­ен­та тре­ния и массы брус­ка. Если ко­эф­фи­ци­ент тре­ния не из­ме­нит­ся, то после умень­ше­ния массы тела в 2 раза, сила тре­ния сколь­же­ния также уменьшится в 2 раза и ока­жет­ся равной: F_Тр=20Н/2=10Н.

Ответ: F_Тр=10Н.

За­да­ние № 2. К де­ре­вян­но­му брус­ку мас­сой m, пло­ща­ди гра­ней кото­ро­го связа­ны от­но­ше­ни­ем S₁:S₂:S₂=1:2:3, при­ло­же­на внешняя горизонталь­ная сила. При этом из­вест­но, что он сколь­зит рав­но­мер­но по го­ри­зон­таль­ной шероховатой опоре, со­при­ка­са­ясь с ней гра­нью пло­ща­дью S₁. Ка­ко­ва ве­ли­чи­на внеш­ней силы, если коэффи­ци­ент тре­ния брус­ка об опору равен μ?

Ре­ше­ние. По­сколь­ку бру­сок сколь­зит рав­но­мер­но, его уско­ре­ние равно нулю. А зна­чит, со­глас­но вто­ро­му за­ко­ну Нью­то­на, равнодействующая все сил также равна нулю. В го­ри­зон­таль­ном направлении на бру­сок дей­ству­ют внеш­няя сила и сила тре­ния. Следователь­но, ис­ко­мая внеш­няя сила равна по ве­ли­чи­не силе тре­ния.

Сила тре­ния, в свою оче­редь, не за­ви­сит от пло­ща­ди со­при­кос­но­ве­ния тел, она опреде­ля­ет­ся ве­ли­чи­ной силы ре­ак­ции опоры N. Со­глас­но вто­ро­му зако­ну Ньютона, при любом по­ло­же­нии брус­ка N=mg. Таким об­ра­зом, сила тре­ния, а зна­чит, и ис­ко­мая сила равны по ве­ли­чи­не F=μmg.

Ответ: F=μmg.

За­да­ние № 3. Тело рав­но­мер­но дви­жет­ся по плос­ко­сти. Сила давления тела на плос­кость равна 20Н, сила тре­ния 5Н. Чему равен коэффи­ци­ент тре­ния скольжения?

Ре­ше­ние. Сила дав­ле­ния на плос­кость, сила тре­ния и ко­эф­фи­ци­ент тре­ния свя­за­ны со­от­но­ше­ни­ем F_Тр=μP. К о­эф­фи­ци­ент тре­ния равен: .   .

Ответ: μ=0,25.

За­да­ние № 4. Бак мас­сой m по­ко­ит­ся на плат­фор­ме, разгоняющей­ся по горизон­таль­ным рель­сам с уско­ре­ни­ем a. Ко­эффици­ент тре­ния между по­верх­но­стью плат­фор­мы и баком равен μ. Ка­ко­ва сила тре­ния, действующая на бак?

Ре­ше­ние. Бак вме­сте с плат­фор­мой дви­га­ет­ся в горизонталь­ном направ­ле­нии с уско­ре­ни­ем a. Это ускорение ему со­об­ща­ет единствен­ная действу­ю­щая на него в этом на­прав­ле­нии сила — сила тре­ния покоя со сто­ро­ны платфор­мы. Для того, чтобы найти величину силы тре­ния, вы­пи­шем второй закон Нью­то­на для бака в про­ек­ции на горизонтальную ось: F_Тр=ma.

Ответ: F_Тр=ma.

За­да­ние № 5. Два спортс­ме­на раз­ной массы на оди­на­ко­вых автомоби­лях, дви­жу­щих­ся со ско­ро­стью υ₁=10км/ч и υ₂=20км/ч, стали тормо­зить, за­бло­ки­ро­вав ко­ле­са. Ка­ко­во от­но­ше­ние s₁ / s₂ тор­моз­ных путей их ав­то­мо­би­лей при оди­на­ко­вом ко­эф­фи­ци­ен­те тре­ния колес о землю?

Ре­ше­ние. При тор­мо­же­нии на ав­то­мо­би­ли дей­ству­ет сила тре­ния скольжения, ко­то­рая и оста­нав­ли­ва­ет их. Ве­ли­чи­на силы тре­ния скольжения определя­ет­ся вы­ра­же­ни­ем F_Тр=μN, где N- сила ре­ак­ции опоры, ко­то­рую можно найти, вы­пи­сав вто­рой закон Нью­то­на в про­ек­ции на верти­каль­ную ось: N-mg=0, следовательно N=mg. Вы­чис­лим те­перь ускоре­ние, с ко­то­рым тор­мо­зит каж­дый из спортс­ме­нов. Вто­рой закон Нью­то­на в про­ек­ции на го­ри­зон­таль­ную ось дает F_Тр=μmg=ma, следовательно: ma=mμg, a=μg (здесь m- масса ав­то­мо­би­ля вме­сте со спортсменом). По­сколь­ку уско­ре­ние не за­ви­сит от массы, за­клю­ча­ем, что оба автомо­би­ля тор­мо­зят с оди­на­ко­вым уско­ре­ни­ем. Тор­моз­ной путь можно найти по фор­му­ле , где υ₀ -на­чаль­ная ско­рость. От­но­ше­ние тор­моз­ных путей равно: .

 

Ответ: s₁/s₂=0,25.

За­да­ние № 6. На ри­сун­ке пред­став­лен гра­фик из­ме­не­ния силы трения, действу­ю­щей на тело, на­хо­дя­ще­е­ся на го­ри­зон­таль­ной поверхности, при раз­лич­ных зна­че­ни­ях внеш­ней го­ри­зон­таль­ной силы. На это тело на­чи­на­ют действо­вать го­ри­зон­таль­ной силой, меняющей­ся со вре­ме­нем по за­ко­ну F_внеш(t)=Ct,

где C -констан­та. Какая из за­ви­си­мо­стей скорости тела от време­ни может этому соответство­вать?

Ре­ше­ние. На гра­фи­ке за­ви­си­мо­сти силы тре­ния от внеш­ней горизонталь­ной силы можно вы­де­лить два участ­ка:

1) об­ласть, где сила тре­ния рас­тет про­пор­ци­о­наль­но внеш­ней силе .

2) об­ласть, где сила тре­ния ста­но­вит­ся по­сто­ян­ной.

Будем раз­би­рать­ся по­сле­до­ва­тель­но.

При малых зна­че­ния внеш­ней го­ри­зон­таль­ной силы, воз­ни­ка­ю­щая сила тре­ния в точ­но­сти урав­но­ве­ши­ва­ет внеш­нюю силу, при этом равнодей­ству­ю­щая всех сил, дей­ству­ю­щих на тело, ока­зы­ва­ет­ся рав­ной нулю, а зна­чит, по вто­ро­му за­ко­ну Ньюто­на, тело по­ко­ит­ся. Такая сил трения на­зы­ва­ет­ся силой тре­ния покоя.

Во вто­рой об­ла­сти, как видно из гра­фи­ка, сила тре­ния до­сти­га­ет свое­го максимально­го зна­че­ния. Уве­ли­че­ние внеш­ней силы при­во­дит к тому, что равнодейству­ю­щая всех сил пе­ре­ста­ет быть рав­ной нулю, и тело на­чи­на­ет ускоряться. Такая сила тре­ния на­зы­ва­ет­ся силой тре­ния скольжения.

В итоге, на гра­фи­ке ско­ро­сти тело от вре­ме­ни мы имеем сле­ду­ю­щее: до тех пор пока внеш­няя сила не достиг­нет мак­си­маль­но­го воз­мож­но­го зна­че­ния силы тре­ния покоя, тело по­ко­ит­ся, затем оно нач­нет начнет ускорять­ся, его ско­рость нач­нет воз­рас­тать. По­доб­ное по­ве­де­ние ско­ро­сти изоб­ра­же­но на гра­фи­ке 4.

Ответ: график №4.

За­да­ние № 7. Тело мас­сой m по­ко­ит­ся на на­клон­ной плос­ко­сти, составляющей с го­ри­зон­том угол α. Ко­эф­фи­ци­ент тре­ния равен μ. Чему равна сила тре­ния, дей­ству­ю­щая на тело?

Ре­ше­ние. Тело по­ко­ит­ся, сле­до­ва­тель­но, его уско­ре­ние равно нулю. На него дей­ству­ет три силы: сила тя­же­сти, направ­лен­ная вниз, сила ре­ак­ции опоры, направ­лен­ная перпендику­ляр­но плос­ко­сти, и сила тре­ния покоя, ме­ша­ю­щая телу ска­тить­ся и на­прав­лен­ная вверх вдоль плос­ко­сти. Рассмот­рим вто­рой закон Нью­то­на в про­ек­ции на ось, па­рал­лель­ную плос­ко­сти:

F_Тр-mg∙sinα=0. Таким об­ра­зом, сила тре­ния равна: F_Тр=mg∙sinα.

  Ответ: F_Тр=mg∙sinα.

За­да­ние № 10. Бру­сок, на­хо­дя­щий­ся на ше­ро­хо­ва­той на­клон­ной плос­ко­сти, оста­ет­ся в покое, пока угол наклона плос­ко­сти не пре­вы­ша­ет 30°. Определите коэффициент трения.

Ре­ше­ние. Рас­смот­рим силы, действующие на бру­сок, при угле на­кло­на плос­ко­сти, при ко­то­ром бру­сок еще по­ко­ит­ся, то есть при угле на­кло­на в 30°. Уско­ре­ние брус­ка равно нулю. Вто­рой закон Нью­то­на в про­ек­ции на оси параллельную и пер­пен­ди­ку­ляр­ную на­клон­ной плос­ко­сти при­об­ре­та­ет вид: N-mgcos30⁰=0, F_{Тр.покоя} -mg sin30⁰=0.

По­сколь­ку, со­глас­но усло­вию, при не­зна­чи­тель­ном уве­ли­че­нии угла на­кло­на плос­ко­сти бру­сок на­чи­на­ет съез­жать с нее, за­клю­ча­ем, что при угле в 30° сила трения покоя до­сти­га­ет сво­е­го мак­си­маль­но­го зна­че­ния и по ве­ли­чи­не равна силе тре­ния сколь­же­ния, то есть ее можно найти по фор­му­ле: F_{Тр.покоя =} F_{Тр.скольж}=μN.  

 Решая си­сте­му урав­не­ния, для ко­эф­фи­ци­ен­та тре­ния имеем: .

Ответ: .

За­да­ние № 11. На глад­ком го­ри­зон­таль­ном столе лежит доска, а на ней кубик. К доске при­кла­ды­ва­ют го­ри­зон­таль­но на­прав­лен­ную силу , в ре­зуль­та­те чего она начи­на­ет дви­гать­ся по столу. Кубик при этом оста­ет­ся не­по­движ­ным относи­тель­но доски. Куда на­прав­ле­на сила тре­ния, дей­ству­ю­щая со стороны доски на кубик?

Ре­ше­ние. Под дей­стви­ем силы доска на­чи­на­ет уско­рять­ся направо. Соглас­но усло­вию, кубик оста­ет­ся неподвиж­ным относитель­но доски, а зна­чит, он уско­ря­ет­ся вме­сте с ней. Соглас­но вто­ро­му за­ко­ну Нью­то­на, причи­на уско­ре­ния — в дей­ствии силы (в инер­ци­аль­ной си­сте­ме от­сче­та равнодей­ству­ю­щая всех сил и уско­ре­ние со­на­прав­ле­ны). Вер­ти­каль­ные силы, действу­ю­щие на кубик, скомпенсирова­ны. Един­ствен­ная го­ри­зон­таль­ная сила, действу­ю­щая на него-это сила тре­ния со сто­ро­ны доски. По­сколь­ку уско­ре­ние ку­би­ка направ­ле­но на­пра­во, такое же на­прав­ле­ние имеет и сила тре­ния.

Ответ: Сила направлена вправо.

За­да­ние № 12. Бру­сок рав­но­мер­но дви­га­ют по ше­ро­хо­ва­то­му горизонтальному столу. Что нужно сделать для того чтобы уве­ли­чить модуль действу­ю­щей на бру­сок силы су­хо­го тре­ния?

Ре­ше­ние. Сила су­хо­го тре­ния не за­ви­сит от ско­ро­сти от­но­си­тель­но­го движения по­верх­но­стей и пло­ща­ди со­при­кос­но­ве­ния. Она опре­де­ля­ет­ся соотношени­ем F_Тр=μN, где μ — ко­эф­фи­ци­ент тре­ния, а N -сила нор­маль­но­го давления брус­ка на стол. Таким об­ра­зом, для того, чтобы уве­ли­чить модуль действую­щей на бру­сок силы су­хо­го тре­ния, нужно уве­ли­чить модуль силы нормаль­но­го дав­ле­ния брус­ка на стол. Это можно, на­при­мер, сде­лать, по­ло­жив на бру­сок до­пол­ни­тель­ный груз.

Ответ: Необходимо уве­ли­чить мо­дуль силы нор­маль­но­го дав­ле­ния брус­ка на стол.

 

За­да­ние № 14. Бру­сок мас­сой 20кг рав­но­мер­но пе­ре­ме­ща­ют по горизонтальной по­верх­но­сти, при­кла­ды­вая к нему по­сто­ян­ную силу, направ­лен­ную под углом 30° к по­верх­но­сти. Мо­дуль этой силы равен 75Н. Опре­де­ли­те коэффи­ци­ент тре­ния между брус­ком и плоскостью. Ответ округ­ли­те до де­ся­тых долей.

  Ре­ше­ние. За­пи­шем вто­рой закон Нью­то­на, учитывая, что тело дви­жет­ся рав­но­мер­но, то есть ускоре­ние брус­ка равно нулю: . Сила трения и сила ре­ак­ции опоры свя­за­ны со­от­но­ше­ни­ем: . За­пи­шем это урав­не­ние в про­ек­ции на го­ри­зон­таль­ную и вер­ти­каль­ную оси:

. Следовательно: .

 

Ответ: .

За­да­ние № 15. Бру­сок мас­сой 20кг рав­но­мер­но пе­ре­ме­ща­ют по склону горки, при­кла­ды­вая к нему по­сто­ян­ную силу, на­прав­лен­ную параллель­но по­верх­но­сти горки. Мо­дуль этой силы равен 204Н, угол накло­на горки к го­ри­зон­ту 60°. Опре­де­ли­те коэффициент тре­ния между брус­ком и скло­ном горки. Ответ округ­ли­те до де­ся­тых долей.

   Ре­ше­ние. За­пи­шем вто­рой закон Нью­то­на, учи­ты­вая, что тело дви­жет­ся рав­но­мер­но, то есть уско­ре­ние брус­ка равно нулю:

. Вспом­ним, что сила тре­ния и сила ре­ак­ции опоры свя­за­ны со­от­но­ше­ни­ем: F_Тр=μN. За­пи­шем это урав­не­ние в про­ек­ции на ось, параллельную плос­ко­сти и пер­пен­ди­ку­ляр­ную ей:

. Следовательно: .

 

Ответ: .

Законы сохранения

Импульс.

За­да­ние № 1. Тело дви­жет­ся по пря­мой в одном на­прав­ле­нии. Под дей­стви­ем по­сто­ян­ной силы за 3с им­пульс тела из­ме­нил­ся на 6кг·м/с. Определите мо­дуль действующей силы?

Ре­ше­ние. Сила, из­ме­не­ние им­пуль­са под дей­стви­ем этой силы и ин­тер­вал вре­ме­ни, в те­че­ние ко­то­ро­го про­изо­шло из­ме­не­ние, свя­за­ны со­глас­но вто­ро­му за­ко­ну Нью­то­на, со­от­но­ше­ни­ем: Δp=FΔt.

От­сю­да на­хо­дим мо­дуль силы .  

Ответ: F=2Н.

За­да­ние № 2. Тело дви­жет­ся по пря­мой. Под дей­стви­ем по­сто­ян­ной силы ве­ли­чи­ной 2Н за 3с мо­дуль им­пуль­са тела уве­ли­чил­ся и стал равен 15кг·м/с. Определите пер­во­на­чаль­ный им­пульс тела.

Ре­ше­ние. Сила, из­ме­не­ние им­пуль­са под дей­стви­ем этой силы и интер­вал вре­ме­ни, в те­че­ние ко­то­ро­го про­изо­шло из­ме­не­ние, свя­за­ны соглас­но со­от­но­ше­ни­ем Δp=FΔt. Сле­до­ва­тель­но: Δp=2Н·3с=6кг·м/с.

Изменение импульса определяется по формуле: Δp=p₂-p₁.

Таким об­ра­зом, пер­во­на­чаль­ный им­пульс был равен p₁=p₂-Δp.

p₁=15кг·м/с — 6 кг·м/с =9 кг·м/с.

Ответ: p₁= 9 кг·м/с.

За­да­ние № 3. Два тела дви­жут­ся по одной пря­мой. Мо­дуль им­пуль­са пер­во­го тела равен 10кг·м/с, а мо­дуль