Раздел 1. Линейная алгебра

Тема: «Понятие матрицы 1-го, -го порядков. Определители, их свойства, вычисление определителей методом Сарруса. Понятие перестановки, инверсии. Алгебраические дополнения и миноры. Разложение определителя по строке или столбцу. Теорема Лапласа».

Опр. Матрицей размера называется прямоугольная таблица чисел, содержащая строк и столбцов.

Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы. Матрицы обозначаются прописными (заглавными) буквами латинского алфавита: . Для обозначения элементов матрицы используются строчные буквы с двойной индексацией: , где — номер строки, — номер столбца.

Пример:

Опр. Матрица называется квадратной -го порядка, если число ее строк равно числу столбцов и равно .

Пример: — квадратная матрица 3-го порядка

Необходимость введения понятия определителя – числа, характеризующего квадратную матрицу , — тесно связано с решением систем линейных уравнений. Определитель матрицы обозначается или .

Опр. Определителем матрицы 1-го порядка или определителем 1-го порядка, называется элемент :

Пример:

Опр. Определителем матрицы 2-го порядка или определителем 2-го порядка, называется число, которое вычисляется по формуле:

Произведения и называются членами определителя 2-го порядка.

Пример:

Пусть дана квадратная матрица 3-го порядка:

Опр. Определителем матрицы 3-го порядка или определителем 3-го порядка, называется число, которое вычисляется по формуле:

Это правило называется правилом треугольников или правилом Сарруса.

Пример:

Для того чтобы ввести понятие определителя более высокого порядка, потребуются некоторые дополнительные понятия. Рассмотри квадратную матрицу -го порядка:

Из общего числа элементов этой матрицы выберем набор, содержащий элементов, таким образом, чтобы в него входило по одному элементу из каждой строки и каждого столбца. Например, набор элементов:

. Любой такой набор можно упорядочить, записав сначала элемент из 1-ой строки, затем из 2-ой и т.д., то есть . Номера столбцов образуют при этом перестановку из чисел: . Всего существует различных перестановок из натуральных чисел.

Введем понятие беспорядка, или инверсии, в перестановке . Это наличие пары чисел, в которой большее число предшествует меньшему. Например, в перестановке из трех чисел имеется одна инверсия , а в перестановке — три: .

Обозначим через — количество инверсий в перестановке . Возвращаясь к наборам из элементов матрицы , мы можем каждому такому набору поставить в соответствие произведение его элементов и число , равное количеству инверсий в перестановке из номеров соответствующих столбцов.

Опр. Определителем квадратной матрицы -го порядка или определителем -го порядка, называется число, равное алгебраической сумме членов, каждый из которых является произведением элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца, причем знак каждого члена определяется как , где — число инверсий в перестановке из номеров столбцов элементов матрицы, если при этом номера строк записаны в порядке возрастания:

,

где сумма берется по всем перестановкам .

Свойства определителей:

1⁰. Если какая-либо строка (столбец) матрицы состоит из одних нулей, то ее определитель равен нулю.

2⁰. Если все элементы какой-либо строки (столбца) матрицы умножить на число , то ее определитель умножится на это число .

Замечание: За знак определителя можно выносить общий множитель любой строки или столбца в отличие от матрицы, за знак которой можно выносить общий множитель лишь всех элементов.

Пример:

3⁰. При перестановке двух строк (столбцов) матрицы ее определитель меняет знак на противоположный.

4⁰. Если квадратная матрица содержит две одинаковые строки (столбца), то ее определитель равен нулю.

5⁰. Определитель не изменится, если строки определителя заменить столбцами, а столбцы – соответствующими строками.

6⁰. Если элементы двух строк (столбцов матрицы) пропорциональны, то ее определитель равен нулю.

7⁰. Определитель матрицы не изменится, если к элементам какой-либо строки (столбца) матрицы прибавить элементы другой строки (столбца), предварительно умноженные на одно и то же число (теорема о линейной комбинации параллельных рядов определителя).

8⁰. Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению их определителей: , где . и — матрицы -го порядка.

Замечание: Даже если , то

На практике при вычислении определителей высоких порядков используют другие формулы. Для их рассмотрения необходимо ввести новые понятия. Пусть дана квадратная матрица -го порядка.

Опр. Минором элемента матрицы -го порядка называется определитель матрицы -го порядка, полученной из матрицы вычеркиванием -той строки и -го столбца.

Пример: Минором элемента матрицы третьего порядка будет:

Каждая матрица -го порядка имеет миноров -го порядка.

Опр. Алгебраическим дополнением элемента матрицы -го порядка называется его минор, взятый со знаком :

,

то есть алгебраическое дополнение совпадает с минором, когда сумма номеров строки и столбца — четное число, и отличается от минора знаком, когда — нечетное число.

Пример:

Важное значение для вычисления определителей имеет следующая теорема.

Т. (Лапласа): Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения:

(разложение по элементам -той строки, ).

— алгебраическое дополнение к элементу .

, где — минор для элемента , он получается из определителя вычеркиванием или удалением -той строки, -того столбца.

имеет порядок .

(разложение по элементам -го столбца, ).

Убедимся в справедливости теоремы Лапласа на примере определителя матрицы 3-го порядка. Разложим его вначале по элементам 1-ой строки:

После преобразований легко убедиться в том, что полученное выражение совпадает с определением определителя матрицы 3-го порядка.

Опр. Элементы матрицы , у которых номер столбца равен номеру строки (), называются диагональными и образуют главную диагональ матрицы.

Для квадратной матрицы главную диагональ образуют элементы . Если все недиагональные элементы квадратной матрицы равны нулю, то матрица называется диагональной.

Пример 1: — диагональная матрица 3-го порядка.

Пример 2: Вычислить определитель диагональной матрицы

Решение:

Раскладывая по первому столбцу, получаем:

На частном примере мы убедились в том, что определитель диагональной матрицы равен произведению элементов главной диагонали.

Значение теоремы Лапласа состоит в том, что она позволяет свести вычисление определителей -го порядка к вычислению более простых определителей -го порядка.

9⁰. Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) этой матрицы равна нулю, то есть при .

Замечание: Объединяя результат теоремы Лапласа и свойство 9⁰, получаем:

10⁰. Сумма произведений произвольных чисел на алгебраические дополнения элементов любой строки (столбца) равна определителю матрицы, полученной из данной заменой элементов этой строки (столбца) на числа

Все перечисленные свойства определителей позволяют существенно упростить их вычисления, особенно для определителей высоких порядков. При вычислении определителей целесообразно так преобразовать исходную матрицу с помощью свойств 1⁰-10⁰, чтобы преобразованная матрица имела строку (или столбец), содержащую как можно больше нулей, а потом найти определитель разложением по этой строке (столбцу).

Лекция №3.

Тема: «Системы линейных уравнений с неизвестными. Совместные и несовместные системы линейных уравнений. Равносильные системы линейных уравнений. Решение системы линейных уравнений методом Крамера».

Система линейных уравнений с неизвестными имеет вид:

(*),

где — произвольные числа, называемые соответственно коэффициентами при переменных и свободными членами уравнений.

В более краткой записи с помощью знаков суммирования систему можно записать в виде: .

Решением системы (*) называется такая совокупность чисел , при подстановке которых каждое уравнение системы обращается в верное равенство.

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет решений.

Совместная система уравнений называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения. Например, система уравнений совместная и определенная, так как имеет единственное решение , система — несовместная, а система уравнений — совместная и неопределенная, так как имеет более одного, а точнее бесконечное множество решений (, где — любое число).

Опр. Две системы уравнений называются равносильными или эквивалентными, если они имеют одно и то же множество решений.

Пусть число уравнений системы (*) равно числу переменных, то есть . Тогда матрица системы является квадратной, а ее определитель называют определителем системы.

Рассмотрим решение системы двух уравнений с двумя переменными:

(**), в которой хотя бы один из коэффициентов при переменных отличен от нуля.

Для решения этой системы исключим переменную , умножив первое уравнение на , второе – на и сложив их. Затем исключим переменную , умножив первое уравнение на , второе – на , и также сложив их. В результате получим:

(***)

Выражение в скобках есть определитель системы:

Обозначив , система (***) примет вид: .

Из полученной системы следует, что если определитель , то система (**) имеет единственное решение, определяемое по формулам:

Если , а (или ), то система (**) несовместная, так как в этом случае приводится к виду: .

Если , то система (**) неопределенная и имеет бесконечное множество решений, так как в этом случае приводится к виду:

Т. (Крамера): Пусть — определитель матрицы системы , а — определитель матрицы, получаемой из матрицы заменой -го столбца столбцом свободных членов. Тогда, если , то система имеет единственное решение, определяемое по формулам: .

Эти формулы получили название формул Крамера.

Тема: «Матрицы. Виды матриц. Операции над матрицами и их свойства».

Опр. Две матрицы и одного размера называются равными, если они совпадают поэлементно, то есть для любых .

Опр. Матрица, состоящая из одной строки, называется матрицей-строкой, а из одного столбца – матрицей-столбцом.

Пример: — матрица-строка

— матрица-столбец

Опр. Если у диагональной матрицы -го порядка все диагональные элементы равны единице, то матрица называется единичной матрицей -го порядка, она обозначается буквой .

Пример: — единичная матрица 3-го порядка.

Опр. Матрица любого размера называется нулевой, или нуль-матрицей, если все ее элементы равны нулю.

Операции над матрицами:

Над матрицами, как и над числами, можно производить ряд операций, причем некоторые из них аналогичны операциям над числами, а некоторые специфические.

1) Умножение матрицы на число

Опр. Произведением матрицы на число называется матрица , элементы которой для .

Если , то

Следствие: Общий множитель всех элементов матрицы можно выносить за знак матрицы.

В частности, произведение матрицы на число 0 есть нулевая матрица.

2) Сложение матриц

Опр. Суммой двух матриц и одинакового размера называется матрица , элементы которой для

(то есть матрицы складываются поэлементно).

Пример:

3) Вычитание матриц

Опр. Разность двух матриц одинакового размера определяется через предыдущие операции:

4) Умножение матриц

Опр. Умножение матрицы на матрицу определено, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй. Тогда произведением матриц называется такая матрица , каждый элемент которой равен сумме произведений элементов -той строки матрицы на соответствующие элементы -го столбца матрицы .

Пример:

Из определений операций над матрицами следует:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

Имеются и специфические свойства матриц:

a) Если произведение матриц существует, то после перестановки сомножителей местами произведение матриц может и не существовать.

b) Если даже произведения и существуют, то они могут быть матрицами разных размеров.

c) В случае, когда оба произведения и существуют и оба – матрицы одинакового размера (это возможно только при умножении квадратных матриц и одного порядка), коммутативный (переместительный) закон умножения, вообще говоря, не выполняется, то есть .

d) Произведение двух ненулевых матриц может равняться нулевой матрице, то есть из того, что , не следует, что , или .

5) Возведение в степень

Опр. Целой положительной степенью () квадратной матрицы называется произведение матриц, равных , то есть ( раз).

Заметим, что операция возведения в степень определяется только для квадратных матриц. По определению полагаем: . Нетрудно показать, что , .

6) Транспонирование матрицы – переход от матрицы к матрице , в которой столбцы и строки поменялись местами с сохранением порядка. Матрица называется транспонированной относительно матрицы .

Из определения следует, что если матрица имеет размер , то транспонированная матрица имеет размер .

Пример:

Другие обозначения транспонированной матрицы:

Свойства операции транспонирования:

a)

b)

c)

d)

Лекция №4.

Тема: «Невырожденная матрица. Обратная матрица. Алгоритм нахождения матрицы, обратной данной. Решение систем линейных уравнений в матричной форме».

Опр. Матрица называется обратной по отношению к квадратной матрице , если при умножении этой матрицы на данную как справа, так и слева, получается единичная матрица: .

Из определения следует, что только квадратная матрица имеет обратную, в этом случае и обратная матрица является квадратной того же порядка. Однако не каждая квадратная матрица имеет обратную.

Опр. Если определитель квадратной матрицы отличен от нуля (), то такая матрица называется невырожденной, или неособенной . в противном случае (при ) – вырожденной, или особенной.

Т. (необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы):

Обратная матрица существует и причем единственно тогда и только тогда, когда исходная матрица невырожденная.

Док-во:

ü Необходимость

Пусть матрица имеет обратную , то есть . По свойству 8⁰ определителей имеем:

, то есть и

ü Достаточность

Пусть . Рассмотрим квадратную матрицу -го порядка , называемую присоединенной, элементы которой являются алгебраическими дополнениями элементов матрицы , транспонированной к :

Тогда элементы произведения матриц определяются по правилу умножения матриц:

Поэтому матрица является диагональной, элементы ее главной диагонали равны определителю исходной матрицы:

Аналогично доказывается, что произведение на равно той же матрице : . Отсюда следует, что если в качестве обратной матрицы взять матрицу (1), то произведения и равны единичной матрице -го порядка:

Докажем единственность обратной матрицы. Предположим, что существуют еще матрицы и такие, что и , где получена по формуле (1) и выполняются равенства: . Тогда, умножая на слева первое из них, получаем: , откуда:

, то есть .

Аналогично, умножая второе равенство на справа, получаем: .

Единственность доказана.

Теорема доказана полностью.

Алгоритм нахождения обратной матрицы:

1) Находим определитель исходной матрицы. Если , то матрица — вырожденная и обратной матрицы не существует. Если ,то — невырожденная и обратная матрица существует.

2) Находим матрицу , транспонированную к .

3) Находим алгебраические дополнения элементов транспонированной матрицы и составляем из них присоединенную матрицу .

4) Вычисляем обратную матрицу по формуле .

5) Проверяем правильность вычисления обратной матрицы, исходя из ее определения (п.5 не обязателен).

Пусть система линейных уравнений с переменными имеет вид:

(2)

Запишем эту систему в матричной форме. Обозначим:

,

где – матрица системы, – матрица-столбец переменных, – матрица-столбец свободных членов. Тогда систему (2) можно записать в виде:

Для получения решения системы (2) при в общем виде предположим, что определитель матрицы не равен нулю. В этом случае существует обратная матрица . Умножая слева обе части матричного равенства на матрицу , получим:

Так как , то решением системы методом обратной матрицы будет матрица-столбец .

Тема: «Ранг матрицы. Понятие линейной комбинации строк матрицы. Теорема о ранге матрицы. Метод Гаусса. Теорема Кронекера-Капелли».

В матрице размера вычеркиванием каких-либо строк и столбцов можно вычленить квадратные подматрицы -го порядка, где . Определители таких подматриц называются минорами -го порядка матрицы . Из матрицы можно получить подматрицы 1-го, 2-го и 3-го порядков.

Опр. Рангом матрицы называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы.

или

Из определения следует:

a) ранг матрицы не превосходит меньшего из ее размеров, то есть .

b) тогда и только тогда, когда все элементы матрицы равны нулю, то есть .

c) для квадратной матрицы -го порядка тогда и только тогда, когда — невырожденная.

Для облегчения нахождения ранга матрицы используются преобразования, сохраняющие ранг матрицы. Назовем элементарными преобразованиями матрицы следующие:

1) отбрасывание нулевой строки (столбца)

2) умножение всех элементов строки (столбца) матрицы на число, не равное нулю

3) изменение порядка строк (столбцов) матрицы

4) прибавление к каждому элементу одной строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на любое число

5) транспонирование матрицы

Т. Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях матрицы.

(Без док-ва)

С помощью элементарных преобразований можно привести матрицу к ступенчатому виду, когда вычисление ее ранга не представляет труда. Матрица называется ступенчатой, если она имеет вид:

, где

Замечание: Условие всегда может быть достигнуто транспонированием матрицы.

Для рангов матриц справедливы соотношения:

1)

2)

3)

4)

5) , если и — квадратные матрицы и

В матрице обозначим ее строки так:

Опр. Две строки называются равными, если равны их соответствующие элементы: , если , .

Арифметические операции над строками матрицы вводятся как операции, проводимые поэлементно:

Опр. Строка называется линейной комбинацией строк матрицы, если она равна сумме произведений этих строк на произвольные действительные числа:

, где — любые числа

Опр. Строки матрицы называются линейно зависимыми, если существуют такие числа , не равные одновременно нулю, что линейная комбинация строк матрицы равна нулевой строке:

, где

Линейная зависимость строк матрицы означает, что хотя бы одна строка матрицы является линейной комбинацией остальных.

Опр. Если линейная комбинация строк равна нулю тогда и только тогда, когда все коэффициенты равны нулю, то есть , то строки

называются линейно независимыми.

Т. (о ранге матрицы): Ранг матрицы равен максимальному числу ее линейно независимых строк или столбцов, через которые линейно выражаются все остальные ее строки (столбцы).

Существенным недостатком решения систем линейных уравнений с переменными по формулам Крамера и методом обратной матрицы является их большая трудоемкость, связанная с вычислением определителей и нахождением обратной матрицы.

Рассмотрим решение системы линейных уравнений с переменными методом Гаусса.

(1)

Метод Гаусса – метод последовательного исключения переменных — заключается в том, что с помощью элементарных преобразований система уравнений сводится к равносильной системе ступенчатого вида, из которой последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные.

Предположим, что в системе (1) коэффициент при в первом уравнении (если это не так, то перестановкой уравнений местами добьемся того, что ).

Шаг 1. Умножая первое уравнение на подходящие числа (на ) и прибавляя полученные уравнения соответственно ко второму, третьему,…, -му уравнению системы (1), исключим переменную из всех последующих уравнений, начиная со второго. Получим:

,

где буквами с верхним индексом (1) обозначены новые коэффициенты, полученные после первого шага.

Шаг 2. Предположим, что . Умножая второе уравнение на подходящие числа () и прибавляя полученное уравнение соответственно к третьему, четвертому,…, -му уравнению системы, исключим переменную из всех последующих уравнений, начиная с третьего.

Продолжая процесс последовательного исключения переменных, после -го шага получим систему:

(2)

Число 0 в последних уравнениях означает, что их левые части имеют вид . Если хотя бы одно из чисел не равно нулю, то соответствующее равенство противоречиво, и система (1) несовместна.

Таким образом, для любой совместной системы числа в системе (2) равны нулю. В этом случае последние уравнений в системе (2) являются тождествами и их можно не принимать во внимание при решении системы (1).

После отбрасывания «лишних» уравнений возможны два случая:

1) число уравнений системы равно числу переменных (в этом случае система (2) имеет треугольный вид)

2) (в этом случае система (2) имеет ступенчатый вид)

Переход системы (1) к равносильной системе (2) называется прямым ходом метода Гаусса, а нахождение переменных из системы (2) — обратным ходом.

Преобразования Гаусса удобно проводить, осуществляя преобразования не с самими уравнениям, а с матрицей коэффициентов.

— расширенная матрица системы (включен столбец свободных членов).

Достоинства метода Гаусса по сравнению с другими:

— значительно менее трудоемкий

— позволяет однозначно установить, совместна система или нет, а в случае совместности найти ее решения (единственное или бесконечное множество)

— дает возможность найти максимальное число линейно независимых уравнений – ранг матрицы системы

Т. (Кронекера-Капелли): Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы этой системы.

(Без док-ва)

Для совместных систем линейных уравнений верны следующие теоремы:

Т1. Если ранг матрицы совместной системы равен числу переменных, то есть , то система (1) имеет единственное решение.

Т2. Если ранг матрицы совместной системы меньше числа переменных, то есть , то система (1) неопределенная и имеет бесконечное множество решений.