1.1. Основные понятия:
Определение:
Уравнение, содержащее неизвестные функции, их аргументы и производные (дифференциалы) различных порядков от этих функции по своим аргументам называется дифференциальным.
Определение:
Порядком д.у. называется порядок старшей производной или старшего дифференциала функции, входящих в уравнение.
Определение:
Решением д.у. называется всякая функция, обращающая это уравнение в тождество.
1.2. Типы дифференциальных уравнений первого порядка:
1) С разделяющимися переменными:
— разрешенное относительно производной
Алгоритм решения:
— заменяем 
на 
.
— разделяем переменные: слева с 
, справа с 
.
— интегрируем уравнение с разделенными переменными .
— записываем общее решение или общий интеграл.
Частный случай 
: 
. 
.
— в дифференциальной форме.
Метод решения тотже.
2) Однородные дифференциальные уравнения:
, где 
— разрешенное относительно производной.
Ход решения:
— вводим новую функцию 
или 
.
— сводим к уравнению с разделяющимися переменными, интегрируем.
|
|
|
(
— однородные функции одного измерения) – дифференциальная форма.
3) Линейные дифференциальные уравнения:
Общая форма: 
, где 
— непрерывные функции, в частности постоянные.
Признак: 
входят только в первой положительной степени и нет их произведения 
, 
— в любой форме.
Ход решения:
— подставляем в данное уравнение 
.
— решаем последовательно два д.у. с разделяющимися переменными: одно д.у. относительно 
, другое относительно 
.
— записываем общее решение (общий интеграл).
Еще одна форма линейного дифференциального уравнения: 
.
Решаются введением 
4) Уравнения Бернулли:
Общий вид — 
, где 
— любой действительное число 
, 
— непрерывные функции, в частности постоянные.
Эти уравнения сводят к линейным, поэтому решение его вида 
.
5) Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах:
, где 
.
Решение ищем в виде 
, где 
и 
— из области непрерывности 
.
1.3. Дифференциальные уравнения высших порядков:
1) Дифференциальные уравнения вида 
, где 
Для нахождения решения последовательно интегрируем заданное д.у. по 
столько раз, каков порядок уравнения.
2) Дифференциальные уравнения вида 
.
Для нахождения решения вводим новую функцию 
, тогда 
.
Замечание:
— д.у. вида 
, где 
решаем с помощью подставки 
.
3) Дифференциальные уравнения вида 
.
Для нахождения решения вводим новую функцию 
, тогда 
.
4) Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами (ЛОДУ)
Общий вид: 
.
Ход решения:
— составляем характеристическое уравнение вида 
.
— решаем характеристическое равнение, используя дискриминант .
|
|
|
— записываем общее решение, учитывая:
ЛОДУ высших порядков решаются аналогично.
5) Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами (ЛНДУ)
Общий вид 
, где 
— непрерывная функция при всех рассматриваемых 
.
— ЛНДУ второго порядка с первой специальной правой частью (
— любое действительное число, включая ноль, 
— многочлен 
-ой степени с действительными коэффициентами)
Его решение имеет вид: 
, где
— 
— общее решение соответствующего ЛОДУ 
,
— 
, где 
— кратность, с которой 
входит в число корней характеристического уравнения, 
— из условия, 
— многочлен 
— ой степени, взятый с буквенными коэффициентами.
— ЛНДУ второго порядка со второй специальной правой частью (
— любое действительное число, включая ноль, 
— многочлен 
-ой и 
— ой степени с действительными коэффициентами)
Его решение имеет вид: 
, где
— 
— общее решение соответствующего ЛОДУ 
,
— 
, где 
— кратность, с которой пара чисел 
входит в число корней характеристического уравнения, 
— из условия, 
— разные многочлены одной степени с буквенными коэффициентами (
).
ЛНДУ высших порядков решают аналогично.
Теорема:
Если 
— частное решение д.у. 
, 
— частное решение д.у. 
, то их сумма 
— частное решение д.у. 
.
6) Метод Лагранжа (для интегрирования ЛНДУ второго и высших порядков)
Этот метод целесообразно применять при интегрировании ЛНДУ с постоянными коэффициентами, но без специальной правой части и уравнений с переменными коэффициетами.
Пусть имеем 
— ЛНДУ второго порядка. Найдем его решение в виде 
методом вариации.
— 
— решение соответствующего ЛОДУ .
— 
.
— составляем СЛАУ относительно 
: 
— находим по формулам Крамера решение системы: 
.
— итнегрируем последнее равенство и полагаем постоянные интегрирования равными нулю, тем самым находим 
.
— записываем решение в виде 
.
1.4.Системы диффереренциальных уравнений.
Определение:
Система диффереренциальных уравнений вида 
где 
— неизвестные функции независимой переменной 
, называется нормальной системой.
Если правые части нормальной системы дифференциальных уравнений являются линейными функциями относительно 
, то система дифференциальных уравнений называется линейной.
1) Иногда нормальную систему дифференциальных уравнений удается свести к одному уравнению 
— го порядка, содержащему одну неизвестную функцию. Сведение нормальной системы к одному уравнению может быть достигнуто дифференцированием одного из уравнений системы и исключением всех неизвестных, кроме одного.
В некоторых случаях, комбинируя уравнения системы, после несложных преобразований удается получить легко интегрируемые уравнения, что позволяет найти решение системы.
2) Пусть дана система 3 линейных дифференциальных уравнений с 3 неизвестными функциями, коэффициенты которых постоянные:
Общее решение имеет вид: 
.
Здесь 
— нетривиальные частные решения системы, причем такие, что каждая тройка функций образуют ФСР 
.
Ищем такие частные решения системы в виде 
, здесь 
— некоторые константы. Подставив значения 
в систему дифференциальных уравнений 
, получим систему линейный алгебраических уравнений относительно 
:
Составляем характеристическое уравнение: 
.
Оно имеет три корня: действительных или комплексно-сопряженных.
— Если корни дейстительные и различные 
, то для каждого корня 
находим из системы 
одно из ее решений 
вида:
Линейная комбинация полученных частных решений определит общее решение заданной системы.
— Если среди корней есть пара комплексно-сопряженных чисел, т.е. 
— действительное, 
, то аналогичным способом с помощью корня 
находим первое частное решение системы в действительной форме. С помощью корня 
или 
получаем новое частное решение в комплексной форме. Выделив в новом решении действительные и мнимые части, составляем из них соответственно частные решения в действительной форме.
|
|
|
