X-PDF

РАЗДЕЛ I: ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА.

Поделиться статьей

1.1. Основные понятия:

Определение:

Уравнение, содержащее неизвестные функции, их аргументы и производные (дифференциалы) различных порядков от этих функции по своим аргументам называется дифференциальным.

Определение:

Порядком д.у. называется порядок старшей производной или старшего дифференциала функции, входящих в уравнение.

Определение:

Решением д.у. называется всякая функция, обращающая это уравнение в тождество.

1.2. Типы дифференциальных уравнений первого порядка:

1) С разделяющимися переменными:

— разрешенное относительно производной

Алгоритм решения:

— заменяем на .

— разделяем переменные: слева с , справа с .

— интегрируем уравнение с разделенными переменными .

— записываем общее решение или общий интеграл.

Частный случай : . .

— в дифференциальной форме.

Метод решения тотже.

2) Однородные дифференциальные уравнения:

, где — разрешенное относительно производной.

Ход решения:

— вводим новую функцию или .

— сводим к уравнению с разделяющимися переменными, интегрируем.

( — однородные функции одного измерения) – дифференциальная форма.

3) Линейные дифференциальные уравнения:

Общая форма: , где — непрерывные функции, в частности постоянные.

Признак: входят только в первой положительной степени и нет их произведения , — в любой форме.

Ход решения:

— подставляем в данное уравнение .

— решаем последовательно два д.у. с разделяющимися переменными: одно д.у. относительно , другое относительно .

— записываем общее решение (общий интеграл).

Еще одна форма линейного дифференциального уравнения: .

Решаются введением

4) Уравнения Бернулли:

Общий вид — , где — любой действительное число , — непрерывные функции, в частности постоянные.

Эти уравнения сводят к линейным, поэтому решение его вида .

5) Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах:

, где .

Решение ищем в виде , где и — из области непрерывности .

1.3. Дифференциальные уравнения высших порядков:

1) Дифференциальные уравнения вида , где

Для нахождения решения последовательно интегрируем заданное д.у. по столько раз, каков порядок уравнения.

2) Дифференциальные уравнения вида .

Для нахождения решения вводим новую функцию , тогда .

Замечание:

— д.у. вида , где решаем с помощью подставки .

3) Дифференциальные уравнения вида .

Для нахождения решения вводим новую функцию , тогда .

4) Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами (ЛОДУ)

Общий вид: .

Ход решения:

Представленная информация была полезной?
ДА
58.72%
НЕТ
41.28%
Проголосовало: 1066

— составляем характеристическое уравнение вида .

— решаем характеристическое равнение, используя дискриминант .

— записываем общее решение, учитывая:

ЛОДУ высших порядков решаются аналогично.

5) Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами (ЛНДУ)

Общий вид , где — непрерывная функция при всех рассматриваемых .

— ЛНДУ второго порядка с первой специальной правой частью ( — любое действительное число, включая ноль, — многочлен -ой степени с действительными коэффициентами)

Его решение имеет вид: , где

— общее решение соответствующего ЛОДУ ,

, где — кратность, с которой входит в число корней характеристического уравнения, — из условия, — многочлен — ой степени, взятый с буквенными коэффициентами.

— ЛНДУ второго порядка со второй специальной правой частью ( — любое действительное число, включая ноль, — многочлен -ой и — ой степени с действительными коэффициентами)

Его решение имеет вид: , где

— общее решение соответствующего ЛОДУ ,

, где — кратность, с которой пара чисел входит в число корней характеристического уравнения, — из условия, — разные многочлены одной степени с буквенными коэффициентами ().

ЛНДУ высших порядков решают аналогично.

Теорема:

Если — частное решение д.у. , — частное решение д.у. , то их сумма — частное решение д.у. .

6) Метод Лагранжа (для интегрирования ЛНДУ второго и высших порядков)

Этот метод целесообразно применять при интегрировании ЛНДУ с постоянными коэффициентами, но без специальной правой части и уравнений с переменными коэффициетами.

Пусть имеем — ЛНДУ второго порядка. Найдем его решение в виде методом вариации.

— решение соответствующего ЛОДУ .

.

— составляем СЛАУ относительно :

— находим по формулам Крамера решение системы: .

— итнегрируем последнее равенство и полагаем постоянные интегрирования равными нулю, тем самым находим .

— записываем решение в виде .

1.4.Системы диффереренциальных уравнений.

Определение:

Система диффереренциальных уравнений вида

где — неизвестные функции независимой переменной , называется нормальной системой.

Если правые части нормальной системы дифференциальных уравнений являются линейными функциями относительно , то система дифференциальных уравнений называется линейной.

1) Иногда нормальную систему дифференциальных уравнений удается свести к одному уравнению — го порядка, содержащему одну неизвестную функцию. Сведение нормальной системы к одному уравнению может быть достигнуто дифференцированием одного из уравнений системы и исключением всех неизвестных, кроме одного.

В некоторых случаях, комбинируя уравнения системы, после несложных преобразований удается получить легко интегрируемые уравнения, что позволяет найти решение системы.

2) Пусть дана система 3 линейных дифференциальных уравнений с 3 неизвестными функциями, коэффициенты которых постоянные:

Общее решение имеет вид: .

Здесь — нетривиальные частные решения системы, причем такие, что каждая тройка функций образуют ФСР .

Ищем такие частные решения системы в виде , здесь — некоторые константы. Подставив значения в систему дифференциальных уравнений , получим систему линейный алгебраических уравнений относительно :

Составляем характеристическое уравнение: .

Оно имеет три корня: действительных или комплексно-сопряженных.

— Если корни дейстительные и различные , то для каждого корня находим из системы одно из ее решений вида:

Линейная комбинация полученных частных решений определит общее решение заданной системы.

— Если среди корней есть пара комплексно-сопряженных чисел, т.е. — действительное, , то аналогичным способом с помощью корня находим первое частное решение системы в действительной форме. С помощью корня или получаем новое частное решение в комплексной форме. Выделив в новом решении действительные и мнимые части, составляем из них соответственно частные решения в действительной форме.


Поделиться статьей
Автор статьи
Анастасия
Анастасия
Задать вопрос
Эксперт
Представленная информация была полезной?
ДА
58.72%
НЕТ
41.28%
Проголосовало: 1066

или напишите нам прямо сейчас:

Написать в WhatsApp Написать в Telegram

ОБРАЗЦЫ ВОПРОСОВ ДЛЯ ТУРНИРА ЧГК

Поделиться статьей

Поделиться статьей(Выдержка из Чемпионата Днепропетровской области по «Что? Где? Когда?» среди юношей (09.11.2008) Редакторы: Оксана Балазанова, Александр Чижов) [Указания ведущим:


Поделиться статьей

ЛИТЕЙНЫЕ ДЕФЕКТЫ

Поделиться статьей

Поделиться статьейЛитейные дефекты — понятие относительное. Строго говоря, де­фект отливки следует рассматривать лишь как отступление от заданных требований. Например, одни


Поделиться статьей

Введение. Псковская Судная грамота – крупнейший памятник феодального права эпохи феодальной раздробленности на Руси

Поделиться статьей

Поделиться статьей1. Псковская Судная грамота – крупнейший памятник феодального права эпохи феодальной раздробленности на Руси. Специфика периода феодальной раздробленности –


Поделиться статьей

Нравственные проблемы современной биологии

Поделиться статьей

Поделиться статьейЭтические проблемы современной науки являются чрезвычайно актуальными и значимыми. В связи с экспоненциальным ростом той силы, которая попадает в


Поделиться статьей

Семейство Первоцветные — Primulaceae

Поделиться статьей

Поделиться статьейВключает 30 родов, около 1000 видов. Распространение: горные и умеренные области Северного полушария . многие виды произрастают в горах


Поделиться статьей

Вопрос 1. Понятие цены, функции и виды. Порядок ценообразования

Поделиться статьей

Поделиться статьейЦенообразование является важнейшим рычагом экономического управления. Цена как экономическая категория отражает общественно необходимые затраты на производство и реализацию туристского


Поделиться статьей

или напишите нам прямо сейчас:

Написать в WhatsApp Написать в Telegram
Заявка
на расчет