Тема«Прогрессии и банковские расчеты».
Предмет: алгебра.
Класс: 9.
УМК: А.Г. Мордкович.
Цели урока: изучение применения прогрессий вбанковских расчетах, сравнение эффективности применения арифметической игеометрической прогрессий, управление вкладами в банках с помощью прогрессий;сочетание учебной и внеучебной информации; развитие элементов логическогомышления, критичности мышления.
Знания и умения:
знать определение арифметической и геометрической прогрессий,формулы n-го члена, формулы суммы n первых членов арифметической игеометрической прогрессий;
уметь применять формулы простых и сложных процентов при решениизадач.
Оборудование:, компьютер, мультимедийный проектор, презентация, графики,калькуляторы.
Ход урока.
1.Организационный момент, объявление темы и цели урока.
2.Актуализация знаний.
1)Выразите проценты в виде числа:
140%,125%, 60%, 12%, 8%, 10%, 500%, 1,5%, 39,4%.
Сформулируйтеалгоритм.
2)Вычислите устно:
1% от200; 3% от 100; 1,5% от 500.
10%от 400; 80% от 300;
Сформулируйтеалгоритм.
3.Изучение нового материала.
Сведенияиз истории создания банков (сообщение учащихся)
Считается, что наряду с изобретением колеса создание банковявилось одним из важнейших изобретений человечества.
Слово «банк» происходит от латинского «банко» –скамья, лавка менялы. Первые банкиры – ростовщики и менялы – появились уже вдревнем мире. Тогда было широко распространено ростовщичество, т.е. одалживаниеденег под проценты. Разность между той суммой, которую возвращали ростовщику, итой, которую первоначально взяли у него, называлась лихвой. Так, в древнемВавилоне лихва составляла 20% и более! Таким образом, ремесленник, взявший уростовщика 1000 денежных единиц сроком на один год, возвращал ему по прошествиигода не менее 1200 этих же денежных единиц.
Первые настоящие банки были основаны в Венеции в 1171 г. и вГенуе в 1320 г. В XIV – XV вв. банки широко распространились в Западной Европе.В Росси первые банки появились в 1774 г. Эти учреждения давали деньги в долгкоролям, князьям, купцам, ремесленникам, финансировали дальние путешествия,завоевательные походы, возведение крупных сооружений и т.д. Конечно, банкидавали деньги не бескорыстно. Как и ростовщики древности они брали плату запользование предоставленными деньгами. Эта плата выражалась обычно в видепроцентов к величине выданных в долг денег.
Современныебанки аккумулируют
• деньги,
• ценныебумаги,
• предоставляюткредит,
• осуществляютвзаимные расчеты,
• выпускаютденьги и ценные бумаги,
• осуществляютоперации с золотом, иностранной валютой и т.д.
Учитель:
Рассмотримзадачу: Пусть вклад составляет 10000 рублей, банк даёт 10% годовых, срокхранения вклада – 3 года. У вас есть две стратегии поведения:
1) в концекаждого года хранения вклада снимать проценты по вкладу (решает 1-й вариант);
2) прийти в банк один раз – вконце срока хранения вклада (решает 2-й вариант).
Два человека работают у доски.
Какой доход вы получите в томи другом случае? Какая стратегия выгоднее?
Сообщение о том, что такое доход(учащийся).
Доход – это сумма денег, которую получаетвкладчик по истечении указанного срока.
Чистый доход — это разность между полученной суммойдохода и первоначальным вкладом.
1 стратегия.
1) 10% = 0.1, 0,1 ∙ 10000 = 1000(руб.) – прибыль за 1 год
2) 1000 ∙ 3 = 3000 (руб.) – прибыльза 3 года.
3) 10000 + 3000 = 13000 (руб.) –доход через 3 года.
Рассмотрим решение данной задачи спомощью программы Excel.
Дано: |
а= |
10000 |
руб. |
|
|
р= |
10 |
% |
|
|
t= |
3 |
года |
|
Найти: |
S |
|
|
|
Решение: |
|
|||
1) S1=а*0,01*p= |
1000 |
(руб) |
ежегодный доход |
|
2) Sn=S1*t= |
3000 |
(руб) |
чистый доход |
|
3) S=a+ Sn= |
13000 |
(руб) |
доход |
|
Ответ: |
13000 |
руб. |
|
|
Рассмотрим эту же задачу вобщем виде: Пустьвклад составляет a рублей, банк даёт p% годовых, срок хранения вклада – t лет.
Чистыйдоход
1 год 2 год 3 год …. t год
0,01 p ∙ a 0,01 p ∙ a 0,01 p ∙ a ….. 0,01 p ∙ a
— Что можно сказать оматематической модели этой ситуации?
Вывод: математическая модель этойситуации является конечной арифметической прогрессией.
0,01 p ∙ a + 0,01 p ∙ a + 0,01 p ∙ a + … + 0,01 p ∙ a
= ∙ n
= 0,01p a ∙ t
S = a + = a + 0,01 p a ∙ t = a (1 + 0,01p∙ t)
S = a ∙ (1 + 0,01p∙ t)
Представленная информация была полезной? ДА 58.65% НЕТ 41.35% Проголосовало: 1064 |
формула простых процентов.
2 стратегия.
1) 10% = 0.1, 0,1 ∙ 10000 = 1000(руб.) – прибыль за 1 год
2) 10000 + 1000 = 11000 (руб.) –доход через 1 год.
3) 11000 ∙ 0,1 = 1100 (руб.) –прибыль за 2-ой год
4) 11000 + 1100 = 12100 (руб.) –доход через 2 года
5) 12100 ∙ 0,1 = 1210 (руб.) –прибыль за 3-ий год
6) 12100 + 1210 = 13310 (руб.) –доход через 3 года.
Рассмотрим решение данной задачи спомощью программы Excel.
Дано: |
а= |
10000 |
руб. |
|
|
р= |
10 |
% |
|
|
t= |
3 |
года |
|
Найти: |
S |
|
|
|
Решение: |
|
|||
1) S1=а+а*0,01*p= |
11000 |
(руб) |
доход за 1-ый год |
|
2) S2=S1+S1*0,01*p= |
12100 |
(руб) |
доход за 2-ой год |
|
3) S3=S2+S2*0,01*p= |
13310 |
(руб) |
доход за 3-ий год |
|
Ответ: |
13310 |
руб. |
|
|
Рассмотрим эту же задачу вобщем виде: Пустьвклад составляет a рублей, банк даёт p% годовых, срок хранения вклада – t лет.
= a – первоначальный вклад
= a +0,01pa = a ∙ (1 + 0,01p)
Сумма вклада увеличилась в (1 + 0,01p) раз. Во столько же раз онаувеличится и к концу 2-го года хранения.
= a ∙(1 + 0,01p)∙ (1 + 0,01p) = (1 + 0,01p)²
И кконцу 3-го года хранения и т.д.
= (1 + 0,01p)³
……..
=
— Что можно сказать оматематической модели этой ситуации?
Вывод: математическая модель этойситуации является конечной геометрической прогрессией.
S = a |
формуласложных процентов
4. Закрепление.
Задача1: Вкладчикоткрыл в банке счёт т положил на него 180000 рублей сроком на 4 года под 15%годовых. Какова будет сумма, которую вкладчик получит при закрытии вклада, если
1) «снимать» проценты поистечении срока хранения вклада?
2) «снимать»проценты в конце каждого года?
На сколько рублей вырастет вклад за 4 года?
Учащиеся решают задачу по вариантам.
Решение.
1 стратегия.
a =180000, p = 15%, t = 4
1) S = 180000 ∙ = 180000 ∙ = 180000 ∙ 1,749 314821 (руб.) – сумма вклада через 4 года
2) 314821 – 180000 = 134821 (руб.) – вырастет вклад через 4года.
Ответ: на 134821 рублей.
2 стратегия.
1) 180000 ∙ (1 + 0,01 ∙ 15 ∙ 4) = 180000 ∙ 1,6 = 288000 (руб.) – суммавклада через 4 года
2) 288000 – 180000 = 108000 (руб.) – чистый доход.
Ответ: 108000 рублей.
— Какой вид процентов выгоднее? (если «снимать» процентыпо истечении срока хранения вклада).
Дополнительныевопросы:
ü Есличерез тот же срок при том же первоначальном вкладе вкладчик хочет получить не288000 рублей, а 3000000 рублей то, что можно определить по формуле простыхпроцентов?
(Можноопределить количество р процентов, т.е. поискать другой банк с нужными р%годовых.)
ü Можно лиопределить по формуле простых процентов, какую сумму нужно положить в тот жебанк под те же простые проценты, чтобы через 5 лет он достиг суммы 1000000рублей?
Задача2 : Предположим,что в 1776 году, когда образовались США, 1 доллар был отдан под 10% годовых. Вкакую сумму он превратился к 1976 году – 200-летней годовщине образования США?
— Формулакаких процентов (простых или сложных) здесь может быть применена? (Сложныхпроцентов).
Решение:
1∙ (1+0,01 ∙ 10)200= (1+0,1)200=1,1200 = ((1,1)8)25 ≈ (2,14)25 210 ∙210 ∙25 = 1024 ∙ 1024 ∙32 32000000
Ответ: более 32000000долларов.
Вывод:вложив 1 доллар можно распоряжаться миллионами!
5.Итог урока.
• показали применениепрогрессий в банковских расчетах;
• эффективность примененияпрогрессий, управление вкладами с помощью прогрессий;
• применение формул простыхи сложных процентов при решении задач.
6.Домашнее задание.
Задача1.
Какуюсумму положили в банк под простые проценты по ставке 12% годовых, если через 5лет вклад достиг величины 94500 руб.?
Задача2.
Скольколет лежал в банке вклад 70000 руб., если по ставке 19,2% годовых простыхпроцентов он достиг величины 150640 руб.?
Задача3.
Вначале нашей эры на одну копейку ежегодно начисляли по 5% годовых. В какуюсумму превратится эта копейка через 2000 лет, т.е. к нашему времени?
Описание презентации по отдельным слайдам:
-
1 слайд
Прогрессии и банковские расчёты
-
2 слайд
Устный
счёт -
3 слайд
Вычислите устно
Выразите проценты в виде числа:
140 %
=1,4
125 %
=1,25
60 %
=0,6
12 %
=0,12
8 %
=0,08
10 %
=0,1
500 %
=5
1,5 %
=0,015
39,4 %
=0,394
Сформулируйте алгоритм -
4 слайд
Вычислите устно:
1%
от
200
·
=2
10 %
от
400
·
=40
3 %
от
100
=3
·
80 %
от
300
=240
·
1,5 %
от
500
·
=7,5
0,01
0,1
0,03
0,8
0,015
Сформулируйте алгоритм -
5 слайд
История создания банков
-
6 слайд
Рассмотрим задачу 1:
Пусть вклад составляет рублей,
банк даёт годовых, срок хранения
вклада- года. У вас есть две стратегии
поведения:
1) в конце каждого года хранения вклада снимать проценты по вкладу;
2) прийти в банк один раз — в конце срока хранения вклада.
Какой доход вы получите в том и другом
случае? Какая стратегия выгоднее?
10 000
10%
3
а
р %
t -
7 слайд
Доход – это сумма денег, которую получает вкладчик по истечении указанного срока
Чистый доход- это разность между полученной суммой дохода и первоначальным вкладом -
8 слайд
1 стратегия
1 год
2 год
3 год
t год
0,01р·а…
Чистый доход
0,01р·а0,01р·а
…
0,01р·а -
9 слайд
1 стратегия
= a – первоначальный вклад;
= a + 0,01pa;
= a + 2 ∙ 0,01pa;
= a + 3 ∙ 0,01pa;……
= a + t ∙ 0,01pa;Математическая модель ситуации –
конечная арифметическая прогрессия. -
10 слайд
1 стратегия
Sn=
0,01р·а· t
S = a+Sn = a + 0,01·p·a·t = a·(1+ 0,01·p·t)
S = a·(1+ 0,01·p·t)Формула простых процентов
-
11 слайд
2 стратегия
= a – первоначальный вклад;
= a + 0,01pa
= a ∙ (1 + 0,01p);
= a ∙ (1 + 0,01p) ∙ (1 + 0,01p)
= a ∙ (1 + 0,01p)²;
= a ∙ (1 + 0,01p)³;…….
= a ∙ (1 + 0,01p)
Математическая модель ситуации –
конечная геометрическая прогрессия. -
12 слайд
2 стратегия
S= a · (1 +0,01p)t
Формула сложных процентов -
13 слайд
Решите задачу 2.
Вкладчик открыл в банке счёт и
положил на него 180000 руб. сроком
на 4 года под 15% годовых. Какова
будет сумма, которую вкладчик
получит при закрытии вклада, если
«снимать» проценты
1) по истечении срока хранения вклада;
2) в конце каждого года?
На сколько рублей вырастет вклад за
4 года? -
14 слайд
Ответ
S =
a·
(
1+ 0,01·
)p
t
180000·
15
4
≈ 314821
314821 – 180000
= 134821 -
15 слайд
Ответ
S =
а ·
р ·
t
(
1+ 0,01·
)180000·
15 ·
4
=288000
288000 – 180000
= 108000 -
16 слайд
Вопросы:
Если через тот же срок при том же первоначальном вкладе вкладчик хочет получить не 288000 рублей, а 300000 рублей то, что можно определить по формуле простых процентов?
Можно ли определить по формуле простых процентов, какую сумму нужно положить в тот же банк под те же проценты, чтобы через 5 лет он достиг суммы 1000000 рублей? -
17 слайд
Решите задачу 3.
Предположим, что в 1776 году, когда образовались США 1 доллар был отдан под 10% годовых. В какую сумму он превратился к 1976 году – 200-летней годовщине образования США?