Разговоры о важном

Тема«Прогрессии и банковские расчеты».

 

Предмет: алгебра.

Класс: 9.

УМК: А.Г. Мордкович.

 

 Цели урока: изучение применения прогрессий вбанковских расчетах, сравнение эффективности применения арифметической игеометрической прогрессий, управление вкладами в банках с помощью прогрессий;сочетание учебной и внеучебной информации; развитие элементов логическогомышления, критичности мышления.

 

Знания и умения:

знать определение арифметической и геометрической прогрессий,формулы n-го члена, формулы суммы n первых членов арифметической игеометрической прогрессий;

уметь применять формулы простых и сложных процентов при решениизадач.

Оборудование:, компьютер, мультимедийный проектор, презентация, графики,калькуляторы.

 

Ход урока.

1.Организационный момент, объявление темы и цели урока.

2.Актуализация знаний.

1)Выразите проценты в виде числа:

140%,125%, 60%, 12%, 8%, 10%, 500%, 1,5%, 39,4%.

Сформулируйтеалгоритм.

2)Вычислите устно:

1% от200;                    3% от 100;                        1,5% от 500.

10%от 400;                  80% от 300;

Сформулируйтеалгоритм.

 

3.Изучение нового материала.

Сведенияиз истории создания банков (сообщение учащихся)

Считается, что наряду с изобретением колеса создание банковявилось одним из важнейших изобретений человечества.

Слово «банк» происходит от латинского «банко» –скамья, лавка менялы. Первые банкиры – ростовщики и менялы – появились уже вдревнем мире. Тогда было широко распространено ростовщичество, т.е. одалживаниеденег под проценты. Разность между той суммой, которую возвращали ростовщику, итой, которую первоначально взяли у него, называлась лихвой. Так, в древнемВавилоне лихва составляла 20% и более! Таким образом, ремесленник, взявший уростовщика 1000 денежных единиц сроком на один год, возвращал ему по прошествиигода не менее 1200 этих же денежных единиц.

Первые настоящие банки были основаны в Венеции в 1171 г. и вГенуе в 1320 г. В XIV – XV вв. банки широко распространились в Западной Европе.В Росси первые банки появились в 1774 г. Эти учреждения давали деньги в долгкоролям, князьям, купцам, ремесленникам, финансировали дальние путешествия,завоевательные походы, возведение крупных сооружений и т.д. Конечно, банкидавали деньги не бескорыстно. Как и ростовщики древности они брали плату запользование предоставленными деньгами. Эта плата выражалась обычно в видепроцентов к величине выданных в долг денег.

Современныебанки аккумулируют

•             деньги,

•             ценныебумаги,

•             предоставляюткредит,

•             осуществляютвзаимные расчеты,

•             выпускаютденьги и ценные бумаги,

•             осуществляютоперации с золотом, иностранной валютой и т.д.

 

Учитель:

Рассмотримзадачу: Пусть вклад составляет 10000 рублей, банк даёт 10% годовых, срокхранения вклада – 3 года. У вас есть две стратегии поведения:

1)     в концекаждого года хранения вклада снимать проценты по вкладу (решает 1-й вариант);

2)      прийти в банк один раз – вконце срока хранения вклада (решает 2-й вариант).

Два человека работают у доски.

Какой доход вы получите в томи другом случае? Какая стратегия выгоднее?

 

Сообщение о том, что такое доход(учащийся).

Доход – это сумма денег, которую получаетвкладчик по истечении указанного срока.

Чистый доход — это разность между полученной суммойдохода и первоначальным вкладом.

 

1 стратегия.

1)      10% = 0.1, 0,1 ∙ 10000 = 1000(руб.) – прибыль за 1 год

2)      1000 ∙ 3 = 3000 (руб.) – прибыльза 3 года.

3)      10000 + 3000 = 13000 (руб.) –доход через 3 года.

 

Рассмотрим решение данной задачи спомощью программы Excel.

 

 

 

 

Дано:	а=	10000	руб.
	р=	10	%
	t=	3	года
Найти:	S
Решение:
1)   S1=а*0,01*p=		1000	(руб)	ежегодный доход
2)            Sn=S1*t=		3000	(руб)	чистый      доход
3)          S=a+ Sn=		13000	(руб)	доход
Ответ:	13000	руб.

 

Рассмотрим эту же задачу вобщем виде: Пустьвклад составляет a рублей, банк даёт p% годовых, срок хранения вклада – t лет.

 

Чистыйдоход

               1 год                2 год               3 год                ….               t год

            0,01 p ∙ a         0,01 p ∙ a         0,01 p ∙ a            …..             0,01 p ∙ a  

 

— Что можно сказать оматематической модели этой ситуации?

Вывод:  математическая модель этойситуации является конечной арифметической прогрессией.

0,01 p ∙ a + 0,01 p ∙ a + 0,01 p ∙ a + … + 0,01 p ∙ a

 =  ∙ n

 = 0,01p a  ∙ t

 

S = a +  = a + 0,01 p a  ∙ t = a (1 + 0,01p∙ t)

 

S = a ∙ (1 + 0,01p∙ t)   Представленная информация была полезной? ДА 62.83% НЕТ 37.17% Проголосовало: 2023

 

 

 

формула простых процентов.

 

2 стратегия.

1)      10% = 0.1, 0,1 ∙ 10000 = 1000(руб.) – прибыль за 1 год

2)      10000 + 1000 = 11000 (руб.) –доход через 1 год.

3)      11000 ∙ 0,1 = 1100 (руб.) –прибыль за 2-ой год

4)      11000 + 1100 = 12100 (руб.) –доход через 2 года

5)      12100 ∙ 0,1 = 1210 (руб.) –прибыль за 3-ий год

6)      12100 + 1210 = 13310 (руб.) –доход через 3 года.

Рассмотрим решение данной задачи спомощью программы Excel.

 

 

Дано:	а=	10000	руб.
	р=	10	%
	t=	3	года
Найти:	S
Решение:
1)     S1=а+а*0,01*p=		11000	(руб)	доход за 1-ый год
2)  S2=S1+S1*0,01*p=		12100	(руб)	доход за 2-ой год
3) S3=S2+S2*0,01*p=		13310	(руб)	доход за 3-ий год
Ответ:	13310	руб.

 

Рассмотрим эту же задачу вобщем виде: Пустьвклад составляет a рублей, банк даёт p% годовых, срок хранения вклада – t лет.

 

 = a – первоначальный вклад

 = a +0,01pa = a ∙ (1 + 0,01p)

Сумма вклада увеличилась в (1 + 0,01p) раз. Во столько же раз онаувеличится и к концу 2-го года хранения.

 =  a ∙(1 + 0,01p)∙ (1 + 0,01p) = (1 + 0,01p)²

И кконцу 3-го года хранения и т.д.

 =  (1 + 0,01p)³

……..

 = 

— Что можно сказать оматематической модели этой ситуации?

Вывод:  математическая модель этойситуации является конечной геометрической прогрессией.

 

S = a

формуласложных процентов

 

 4. Закрепление.

Задача1: Вкладчикоткрыл в банке счёт т положил на него 180000 рублей сроком на 4 года под 15%годовых. Какова будет сумма, которую вкладчик получит при закрытии вклада, если

1)      «снимать» проценты поистечении срока хранения вклада?

2)     «снимать»проценты в конце каждого года?

На сколько рублей вырастет вклад за 4 года?

Учащиеся решают задачу по вариантам.

Решение.

1 стратегия.

a =180000,    p = 15%,      t = 4

1) S = 180000 ∙  = 180000 ∙  = 180000 ∙ 1,749  314821 (руб.) – сумма вклада через 4 года

2) 314821 – 180000 = 134821 (руб.) – вырастет вклад через 4года.

Ответ: на 134821 рублей.

2 стратегия.

1) 180000 ∙ (1 + 0,01 ∙ 15 ∙ 4) = 180000 ∙ 1,6 = 288000 (руб.) – суммавклада через 4 года

2) 288000 – 180000 = 108000 (руб.) – чистый доход.

Ответ: 108000 рублей.

 

— Какой вид процентов выгоднее? (если «снимать» процентыпо истечении срока хранения вклада).

 

Дополнительныевопросы: 

ü Есличерез тот же срок при том же первоначальном вкладе вкладчик хочет получить не288000 рублей, а 3000000 рублей то, что можно определить по формуле простыхпроцентов?

(Можноопределить количество р процентов, т.е. поискать другой банк с нужными р%годовых.)

ü Можно лиопределить по формуле простых процентов, какую сумму нужно положить в тот жебанк под те же простые проценты, чтобы через 5 лет он достиг суммы 1000000рублей?

 

Задача2 : Предположим,что в 1776 году, когда образовались США, 1 доллар был отдан под 10% годовых. Вкакую сумму он превратился к 1976 году – 200-летней годовщине образования США?

— Формулакаких процентов (простых или сложных) здесь может быть применена? (Сложныхпроцентов).

 

Решение:

1∙ (1+0,01 ∙ 10)²⁰⁰= (1+0,1)²⁰⁰=1,1²⁰⁰ = ((1,1)⁸)²⁵ ≈ (2,14)²⁵ 2¹⁰ ∙2¹⁰ ∙2⁵ = 1024 ∙ 1024 ∙32 32000000
Ответ: более 32000000долларов.

Вывод:вложив 1 доллар можно распоряжаться миллионами!

 

5.Итог урока.

•       показали применениепрогрессий в банковских расчетах;

•       эффективность примененияпрогрессий, управление вкладами с помощью прогрессий;

•       применение формул простыхи сложных процентов при решении задач.

 

6.Домашнее задание.

Задача1.

Какуюсумму положили в банк под простые проценты по ставке 12% годовых, если через 5лет вклад достиг величины 94500 руб.?

Задача2.

Скольколет лежал в банке вклад 70000 руб., если по ставке 19,2% годовых простыхпроцентов он достиг величины 150640 руб.?

Задача3.

Вначале нашей эры на одну копейку ежегодно начисляли по 5% годовых. В какуюсумму превратится эта копейка через 2000 лет, т.е. к нашему времени?