Министерство образованияРеспублики Мордовия
Муниципальное бюджетноеобщеобразовательное учреждение
«Средняяобщеобразовательная школа №5»
Рузаевскогомуниципального района
Vмуниципальная научно-практическая конференция
«МОЛОДЕЖЬ И НАУКА –
ШАГ В БУДУЩЕЕ»
Секция «В мире чисел иформул» (математика);
Исследовательскийпроект:
«Теория игр как метод моделированияреальных задач»
Авторы работы: кадеты 8«А» класса
Ермушев Даниил, НуриевПанах
Руководитель:Чавкина Татьяна Валериевна,
учительматематики МБОУ «СОШ №5»
Рузаевка,2022г.
Оглавление
Глава 1. Основныеопределения теории игр. 4
Глава 2. Классическийпример из теории игр — дилемма заключённого. 5
Глава 4. Решениереальной задачи с помощью теории игр. 7
Список использованныхисточников. 11
Введение
Во время дистанционного обучениямногие учителя и ученики столкнулись с ситуацией, когда одновременно большоеколичество подключений к какому-то сайту обрушивало этот сервис. И никто не могнормально работать в сети. Возникает некоторая интернет-пробка. А что такое пробка– это когда много других людей одновременно с вами вышли на один и тот же сайт.Пробка возникает тогда, когда в вашу жизнь вмешиваются решения других людей.Человек, когда решает выходить или не выходить в интернет, он взвешивает толькосвое собственное время. (на какое время назначен урок или совместная работа). Онсоздает некоторое негативное воздействие на позиции других людей, потому что оннемножко больше нагружает сеть. И если таких как н оказалось очень много, то нио каом скоростном подключении можно и не мечтать. Поэтому выходя в интернет наопределенный сайт, вы каждый раз решаете теоретико-игровую задачу, играя внекоторую игру, в которую вместе с вами играет все учники класса, школы, аможет быть города или даже планеты, а это уже очень много игроков
Так вот теория игр описывает такиепроцессы
Цельюнашего исследовательского проекта является изучить, какие реальные задачи могутбыть решены с помощью теории игр.
Задачи:
1. Изучить основные определениятеории игр.
2. Разобрать классический примерзадачи теории игр
3. Придумать собственный примерзадачи, который может быть решен с помощью теории игр.
4. Разобрать решение реальной задачис помощью теории игр.
В ходе работы просмотрено большоеколичество видео материалов и статей в интернете, привлечены классическиеучебники и методические разработки по решению олимпиадных задач.
Глава 1. Основные определения теорииигр.
Играявляется математической моделью конфликтной ситуации и требует наличияследующих компонент:
1. заинтересованных сторон;
2. возможных действий с каждойстороны;
3. интересов сторон.
Заинтересованные в игре стороны называются игроками, каждый из них может предпринять не менее двух действий. Исходигры называется выигрышем.
Игра в отличии от реальной конфликтной ситуация всегда протекает по определённымправилам, которые точно определяют:
1. варианты действий игроков;
2. объём информации каждогоигрока о поведении партнёра;
3. выигрыш, к которому приводиткаждая совокупность действий.
Примерамиформализованных игр могут служить футбол, карточная игра, шахматы.
Вэкономике модель поведения игроков возникает, например, когда несколько фирмстремятся занять более выгодное место на рынке, несколько лиц пытаются поделитьмежду собой какой-либо ресурс так, чтобы каждому досталось по возможностибольше. Игроками в конфликтных ситуациях в экономике, которые можномоделировать в виде игры, являются фирмы, банки, отдельные люди и другиеэкономические агенты. В свою очередь в условиях войны модель игры используется,например, в выборе более лучшего оружия (из имеющегося или потенциальновозможного) для разгрома противника или защиты от нападения.
Для игры характерна неопределённость результата. Причины неопределённости можно распределить по следующимгруппам:
1. комбинаторные (как вшахматах);
2. влияние случайных факторов(как в игре орёл или решка, кости, карточные игры);
3. стратегические (игрок незнает, какое действие предпримет противник).
Стратегией игрока называетсясовокупность правил, определяющих его действия при каждом ходе в зависимости отсложившейся ситуации.
Целью теории игр являетсяопределение оптимальной стратегии для каждого игрока. Определить такуюстратегию — значит решить игру. Оптимальность стратегии достигается,когда один из игроков должен получить максимальный выигрыш, при том, что второйпридерживается своей стратегии. А второй игрок должен иметь минимальныйпроигрыш, если первый придерживается своей стратегии.
Глава 2. Классический пример из теорииигр — дилемма заключённого
.
Двух подозреваемых берут под стражу и изолируют друг от друга.Окружной прокурор убеждён, что они совершили тяжкое преступление, но не имеетдостаточных доказательств, чтобы предъявить им обвинение на суде. Он говориткаждому из заключённых, что у него имеется две альтернативы: признаться впреступлении, которое по убеждению полиции он совершил, или не признаваться.Если оба не признаются, то окружной прокурор предъявит им обвинение вкаком-либо незначительном преступлении, например, мелкая кража или незаконноевладение оружием, и они оба получат небольшое наказание. Если они обапризнаются, то будут подлежать судебной ответственности, но он не потребуетсамого строгого приговора. Если же один признается, а другой нет, топризнавшемуся приговор будет смягчён за выдачу сообщника, в то время какупорствующий получит на полную катушку.
Таким образом, если оба заключённыхне признаются, они получат по 1 году каждый. Если оба признаются, то каждыйполучит по 8 лет. А если один признается, другой не признается, то тот, которыйпризнался, отделается тремя месяцами заключения, а тот, который не признается,получит 10 лет. Приведённая матрица правильно отражает дилемму заключённого:перед каждым стоит вопрос — признаться или не признаться. Игра, которуюокружной прокурор предлагает заключённым, представляет собой некооперативнуюигру. Ведь Если бы оба заключённых имели возможность сотрудничать, тооба не признались бы и получили по году тюрьмы каждый
Глава 3. Пример реальной задачи изсобственной жизни, который может быть решен при помощи теории игр
Предположим, что у нас происходятвыборы лучшего кадета среди 8х классов. Есть кандидаты А, B,С. И вы бы очень хотели, чтобы прошёл кандидат С. Но у вас есть глубокаяуверенность, исходя их каких-то опросов, что кандидат С непроходной – 1-2%максимум. Вы понимаете, что если вы будете голосовать за него, то на самом делеваш голос в результате выльется в то, что Bне пройдет во второй тур и победит кандидат А, который вам не нравится. И вырешаете, что пусть будет лучше B.Мой С непроходной вариант, я буду за B.В результате возможна такая ситуация, что это такая тотальная дискординация.Все хотели за С, но все верили, что С непроходной. Или возможно Никто не знает насамом деле С был проходной или непроходной, но был заказан социологическийопрос, на котором было объявлено, что С непроходной. Большой соблазн человека,что если он видит он может повлиять на ситуацию, он на неё влияет. А чточеловек делает таким образом на самом деле? Человек создаёт в головах другихнекоторое представление о действиях других игроков и о том, какие у них функциивыигрыша. И это определяет то, какая ситуация сложится. Если любителей С многои они знают, что их много, то С может победить. Если любителей С много , ноони считают, что они все в меньшинстве, то С не победит, потому что они будутголосовать за B против А. И возникнетситуация равновесия некординации .
Глава 4. Решение реальной задачи спомощью теории игр
Рассмотримформализованный пример. Троестудентов музыкальной школы подрабатывают в разных клубах, свою выручку ониполучают от посетителей клубов. Установить, выгодно ли им объединять свои силы(если да, то с какими условиями)
В среднем ихвыручка за один вечер составляла:
· у скрипача 600 единиц;
· у гитариста 700 единиц;
· у певицы 900 единиц.
Пытаясьувеличить выручку, студенты в течение нескольких месяцев создавали различныегруппы. Результаты показали, что, объединившись, они могут увеличить свою выручкуза вечер следующим образом:
· скрипач + гитаристзарабатывали 1500 единиц;
· скрипач + певица зарабатывали1800 единиц;
· гитарист + певица зарабатывали1900 единиц;
· скрипач + гитарист + певицазарабатывали 3000 единиц.
Решение. Вэтом примере число участников игры n = 3, следовательно,область определения функции игры состоит из 8 возможных подмножествмножества всех игроков. Перечислим все возможные коалиции T:
· коалиции из одного элемента,каждая из которых состоит из одного игрока — музыканта: T{1}, T{2}, T{3};
· коалиции из двухэлементов: T{1,2}, T{1,3}, T{2,3};
· коалиция из трёхэлементов: T{1,2,3}.
Каждому изигроков присвоим порядковый номер:
· скрипач — 1-й игрок;
· гитарист — 2-й игрок;
· певица — 3-й игрок.
По даннымзадачи определим характеристическую функцию игры v:
v(T{1}) = 600; v(T{2}) = 700; v(T{3}) = 900;
эти значенияхарактеристической функции определены исходя из выигрышей соответственнопервого, второго и третьего игроков, когда они не объединяются в коалиции;
v(T{1,2}) = 1500; v(T{1,3}) = 1800; v(T{2,3}) = 1900;
эти значенияхарактеристической функции определены по выручке каждой пары игроков,объединившихся в коалиции;
v(T{1,2,3}) = 3000;
это значениехарактеристической функции определено по средней выручке в случае, когда игрокиобъединялись в тройки.
Такимобразом, мы перечислили все возможные коалиции игроков, их получилось восемь Намнужно проверить наличие аддитивности для значений характеристической функциивсех непересекающихся коалиций.
Определим,как игроки образуют непересекающиеся коалиции T1 и T2.Если часть игроков входят в коалицию T1, то все остальные игрокивходят в коалицию T2 и по определению эта коалиция образуетсякак разность всего множества игроков и множества T1. Тогда,если T1 — коалиция из одного игрока, то в коалиции T2 будутвторой и третий игроки, если в коалиции T1 будут первый итретий игроки, то коалиция T2 будет состоять только из второгоигрока, и так далее.
Теперьустановим, выполняется ли условие супераддитивности характеристической функциидля нашего примера:
v(T{1})+v(T{2,3})<v(T1∪T2)=v(N),
т.е. 600+1900=2500<3000;
v(T{2})+v(T{1,3})<v(T1∪T2)=v(N),
т.е. 700+1800=2500<3000;
v(T{3})+v(T{1,2})<v(T1∪T2)=v(N),
т.е. 900+1500=2400<3000.
Такимобразом, по условию теории игр для кооперативной (коалиционной) игры n лиц,игрокам из этого примера выгодно объединяться в коалиции, чтобы увеличить своивыигрыши.
Заключение
Теория игр — наука, которая даётключ к пониманию не только повседневных ситуаций с большим количествомучастников, но и возможность в дальнейшем влиять на свою жизнь, жизниокружающих и всей планеты.
Все поставленные задачи были решены входе выполнения работы. Разбор решения потребовал привлечения дополнительнойлитературы по теории множеств, но оказался не таким сложным, как ожидалось.Считаем, что проделана хорошая работа, тема разобрана на таком уровне, которыйпозволит объяснить её ученикам 7-8 классов на дополнительных занятиях.Заинтересованности также будет способствовать присутствие мультипликационныхперсонажей в видео-защите проекта.
Список использованных источников
1. Статья: Теория игр. https://studopedia.ru/view_mathematica.php?id=27
2 Статья: Математическая теория игр.Примеры записи и решения игр из жизни https://function-x.ru/games_theory_examples.html
3. Видео: Основные теоремы в теории игр https://www.youtube.com/watch?v=4MvhP2zKozI&feature=emb_logo
4. Кноп К. А. Взвешивания и алгоритмы: отголоволомок к задачам (3-е, стереотипное). – М., МЦНМО, 2014.
5. Козлова Е. Г. Сказки и подсказки (задачи для математического кружка) (7-еиздание, стереотипное) – М., МЦНМО, 2013.
