Геометрический смыслопределённого интеграла.
Криволинейнойтрапециейназывается фигура, ограниченная графиком непрерывной неотрицательной функции f(х), прямыми х = а, х = b и отрезком оси Ох.
Геометрическийсмысл определённого интеграла:
Определённыйинтеграл от непрерывной неотрицательной функции равен площади соответствующейкриволинейной трапеции:
.
Площадьвсякой плоской фигуры в прямоугольной системе координат может быть составленаиз площадей криволинейных трапеций, прилегающих к оси Ох или к оси Оy.
Задачи навычисление площадей плоских фигур удобно решать по следующему плану:
1. Записывают каждую функцию ввиде y = f(x).
2. По условию задачи делаютсхематический чертёж.
3. Представляют искомую площадькак сумму или разность площадей криволинейных трапеций. Из условия задачи ичертежа определяют пределы интегрирования для каждой составляющей криволинейнойтрапеции.
4. Вычисляют площади каждойкриволинейной трапеции и площадь искомой фигуры.
При вычислении площадикриволинейной трапеции возможны случаи:
1.
2.
3.
4.
Вычислениеплощади криволинейной трапеции.
Вычислитьплощади фигур, ограниченных линиями:
1) 
Решение:
1.Запишемфункции в виде y = f(x):
2.Построимграфики данных функций:
— прямая;
— прямая;
— прямая (совпадает с осью Ох).
3.Найдёмточку пересечения прямых, для чего решим систему:
Отсюда х = 2, y = 3.
4.Длявычисления искомой площади разобьем её на две площади S1 и S2 и вычислим их:
Ответ:S = 13,5 кв. ед.
2) 
Решение:
1.Запишемфункции в виде y = f(x):
2.Построимграфики данных функций:
— парабола (ветви направлены вниз);
— прямая, параллельная оси Oy
— прямая (совпадает с осью Ох).
3.Найдёмточки пересечения параболы с осью Ох, для чего решим систему:
. Отсюда х = 0, y = 4.
4.Длявычисления искомой площади разобьем её на две площади S1 и S2 и вычислим их:
Ответ:S = 13 кв. ед.
3) 
.
Решение:
1.Запишемфункции в виде y = f(x):
2.Построимграфики данных функций:
— парабола (ветви направлены вниз); 
— прямая.
3.Найдёмточки пересечения прямой и параболы, для чего решим систему:
. Отсюда х = -2, y = 1.
4.Искомаяплощадь заключена между графиками данных функций. Воспользуемся формулой,рассмотренной выше в случае №4:
Ответ:S = 4,5 кв. ед.
Дополнительныезадания.
Вычислить площадифигур, ограниченных линиями:
(1) 
Ответ:S = 12 кв.ед.
(2) 
Ответ:S = 5 кв.ед.
(3) 
Ответ:S = 
кв.ед.
(4) 
Ответ:S = 
кв.ед.
(5) 
Ответ:S = 9кв.ед.
