Практическое занятие № 46

«Построение графика функции»

1. Общая схема исследования функции

Дана функция  y  f x. Задача: исследовать функцию и построить ее график.

1)      Найтиобласть определения функции D(y);

2)      Исследоватьфункцию на четность;

3)      Определить,является ли функция периодичной;

4)     Исследовать функцию при помощи первой производной, т.е. найти:

•      Промежутки возрастания и убывания функции;

•      Точки экстремумов и экстремумы;

•      При необходимости – наибольшее и наименьшее значения функции наотрезке; 5) Исследоватьфункцию при помощи второй производной, т.е. найти:

•      Точки перегиба и значения функции в этих точках;

•      Определить вид выпуклости графика;

6)     Найти точки пересечения графика с осями координат:

•      С осью Ox – нули функции

•      С осью Oy, y(0);

7)     Сосчитать дополнительные точки (в том случае, если невозможно найти нулифункции); 8) Найтиасимптоты графика (необязательно);

  Если функция достаточно сложная,рекомендуется составить сводную таблицу.

 

2. Построение графиков функций

Пример 1.

yx3 3xDy

, т.е. x – любоечисло; функция непрерывна на области определения; 2)  yxx³ 3x1 x³  3x 1 yxyx -функция общего вида (ни четная, ни нечетная);

3)   функция не является периодичной;

4)    y 3x² y  0    3x² 3 0      x² 1,   x_1,2  1

    +             ―             +         y ^/

———○————○————>x                               Выводы:    а)  x = -1 т. max      y(-1)= (-1)³ – 3(-1) + 1 = 3  max

     ↑   -1      ↓         1    ↑        y                                                            x = 1 т. min       y(1) = 1³ — 3∙1 + 1 = -1  min;

 

б)  функция возрастает на ,   функция убывает на (-1; 1).

5)    y  3x² 3^ 6xy 0     x 0

  Выводы: x=0 – точкаперегиба; y(0)=1

 

 

6)    а) Нули функции: y = 0,   x³ – 3x + 1 = 0  такого вида кубические уравнения неизучались, т.е. решать не будем.    б) точка пересечения с  OY:  x = 0,  y(0) =1

 

7)    Дополнительныеточки: на рисунке это точки D(-2, -1) и F(2, 1)

     D:  x= — 2   y(-2) = -1,   F:  x = 2   y(2) = 3

     

Пояснения к графику:

1) убедитесь, что до точки -1 и после точки 1, функция возрастает; от -1 до1 – убывает;

2) точки A, B, C – это точки пересечения графика с осью X:

A(x₁, 0), B(x₂,0), C(x₃, 0), где x₁≈ -1,8  x₂≈ 0,3  x₃≈1,5 (это корни уравнения x³ – 3x + 1 = 0, которое мы не решали);

3) (-1; 3) это максимум функции,  (1; -1) минимум; 4) В точке (0; 1)произошла смена выпуклости графика. 

 

Пример 2.

yx4  6x2  Dy

функция непрерывнана области определения;

2)   y x  x⁴  6 x²  3 x⁴  6x²  3 yx— функция четная (график симметричен относительно

Oy);

3)    Функция неявляется периодичной; 4)  y 4x³ 12x  4x³  3xy  0     x³  3x 0      xx²  3 0     _^x^{1 }0

x2,3   3

Выводы:                                                                                                      ―           +               ―              +        y ^/ x 0 — m.max,   y03  — max;                                    ;                         ———○————○————○———> x x 3  — m.min,   y334 6 32 3 6  — min                                ↓  -√3      ↑       0       ↓      √3     ↑      y

Промежутки убывания и возрастанияфункции очевидны с рисунка.

 

5)   y  4x³ 12x^12x² 12 12x² 1y  0    x² 1 0,    x_1,2  1

 

  Выводы: x=±1 –точки перегиба;   y11⁴  61²  3 2

 

 

6)   а) Нули функции: 

y  0     x ⁴  6x ²  3  x ²  t,    t  0      

t ² — 6t 3 0,     D 24,   t_1,2 3 6, t₁  3  6      x_1,2 3 

t₂  3  6      x_3,4  3 

б)  точка пересечения с Oy: x=0; y(0)=3 

 

7) Дополнительные точки можно не считать. 

 

Пример 3.

x3 y           4x

 2 4 3x 

1. Построить график функции ;      2. К графику функциипостроить касательную в точке x1.

1)   Dy:  3x²  4  0,   x 2 3 — здесь: функциянепрерывна на области определения, а в точках  x  _^{2 3}

                                                           3                                                                                                                         3

не существует;область определения симметрична, поэтому пункт 2;

2)   y x^x3  42x3xx32 _44x  3xx32_44x y -функция нечетная; x

3_{ } x _4

3)   Не периодична;

4)   y x3  4x3x2 4² x32 4x3x2  4…3x24 1642 y  0     33xx24 164 00  — решений нет,

                                               3x 4                                     3x

значит, функция ведет себя монотонно на каждом промежуткесуществования:

                                                2 3        2 3 2 3   2 3         

y  0      y   на        ,        ,       

                                             3      3     3 __ 3       _

 3x4

          ^3x²  4_                2 42  3x4 163x2  42 …  48x3x4  8x42 16

5)   y         162   3x4 16 3x  3x2  44             3x2  4

x₁  0



Ищем критические точки 2рода : y 0      _482 x3x⁴  8x² 160 x2,3_{,     x  0}

,  

                                                                                               _3x 4 0                             _

^x  

                                                                                                                                                           3

   +  не сущ.  ―            +    не сущ.   ―     y ^//  

———○————○————○————>x                                    

   U  -2√3/3    ∩     0     U    2√3/3  ∩        y                x = 0  точка перегиба    y(0) = 0

 

6)     а) Нули функции:  y0       x³  4x 0,    xx²  4 0    ^_x_x¹2,3^_0_2

б) Точка пересечения графика с Oy:x = 0,   y(0) = 0

7)     Дополнительные точки – не нужны; 8) Асимптоты:

•        x — вертикальные асимптоты;

•        Наклонная асимптота:  yx

y  kx b:    k  ^limf xx ^limxx3³x2 4x4_ b _x^limf xkx_x^lim_3xx³2_44x 13 x_^…0 _{x       x                      }

Задание 2.  Касательная:

y  yx₀x  x₀yx₀x 1, y119, y13     y 19x 1319x 16 

 

Составим сводную таблицу:

x	(-,-2√3/3)	-2√3/3	(-2√3/3,0)	0	(0,2√3/3)	2√3/3	(2√3/3, )
y	↑	→ ±	↑	0	↑	→ ±	↑
y /	+	Нет	+	1	+	Нет	+
y //	+	Нет	―	0	+	Нет	―
выпуклость	U	Вертик. асимптота	∩	Точка перегиба	U	Вертик. асимптота	∩

 

 

 

 

Задание для самостоятельной работы

 

При помощи первой и второй производной исследовать функцию ипостроить график:

³ 12x  y  2x³  6x y  x⁴  4x² y x  y  x^{2 y  x }

                                                                                                                                                                  x                  x1

               2x²  6                   17  x²                                      x³  4                     12x                          x²

6) y  x y 4x  y  x_{2     y  9  x2 y        4x2  3}