Принимая во внимание полученные ранее формулы Маклорена для функций можем записать ряды для этих функций и найти их области сходимости.
1. Функция . Ряд Маклорена имеет вид
.
Найдем радиус сходимости ряда
.
Область сходимости ряда .
2. Функция . Ряд Маклорена имеет вид
,
где — остаточный член, записанный в данном случае в форме Пеано. Запись означает, что функция является бесконечно малой по сравнению с функцией .
Найдем радиус сходимости этого ряда
.
Область сходимости ряда .
3. Функция . Ряд Маклорена имеет вид
,
где — остаточный член. Здесь нумерация членов ряда начинается с n = 0.
Радиус сходимости
.
Область сходимости ряда .
Пример 9.5. Разложить в ряд по степеням х функцию .
Воспользуемся формулой косинуса суммы двух углов, запишем
.
Пример 9.6. Будем считать справедливым разложение функции в ряд Маклорена при мнимом показателе , т. е.
.
Здесь — мнимая единица. Так как и т. д., то
.
Сгруппируем действительные и мнимые члены этого ряда, получим
.
Отсюда получаем известную формулу Эйлера
|
|
.
4. Получим разложение по степеням х для функции .
Данная функция удовлетворяет уравнению ,
т. е. или
.
Будем искать разложение функции по степеням х в виде
.
Продифференцируем почленно этот ряд
и подставим и в уравнение , получим
.
Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях этого уравнения . при этом учтем, что при ,
т. е. .
При : .
При : .
При :
.
Далее, приравнивая коэффициенты при , можно получить . Тогда при :
.
Таким образом, получаем разложение функции .
.
Найдем радиус сходимости этого ряда
.
Интервал сходимости ряда .
На основании теоремы Вейерштрасса о равномерной сходимости любой степенной ряд в интервале сходимости является равномерно сходящимся. Поэтому ряд составленный из интегралов членов такого ряда сходится к интегралу от суммы этого ряда. Используем это свойство для получения разложений в степенной ряд функций:
и .
5. Для функции можно записать .
При выражение можно представить как сумму убывающей геометрической прогрессии
.
Так как при этот ряд (прогрессия) сходится равномерно, то его можно почленно интегрировать. Находим
.
Следовательно,
.
Найдем радиус сходимости этого ряда.
.
Интервал сходимости ряда .
6. Для функции справедливо равенство .
При функцию можно представить как сумму убывающей геометрической прогрессии , которая сходится равномерно.
Интегрируя почленно, получим
.
Следовательно,
.
Радиус сходимости ряда
.
Интервал сходимости ряда .
7. Для функции справедливо равенство
.
Запишем разложение биномиального ряда
.
Данный ряд сходится равномерно при .
|
|
Интегрируем ряд почленно, получим
Следовательно,
.
Интервал сходимости ряда .