X-PDF

Разложение в ряд Маклорена основных элементарных функций

Поделиться статьей

Принимая во внимание полученные ранее формулы Маклорена для функций можем записать ряды для этих функций и найти их области сходимости.

1. Функция . Ряд Маклорена имеет вид

.

Найдем радиус сходимости ряда

.

Область сходимости ряда .

2. Функция . Ряд Маклорена имеет вид

,

где — остаточный член, записанный в данном случае в форме Пеано. Запись означает, что функция является бесконечно малой по сравнению с функцией .

Найдем радиус сходимости этого ряда

.

Область сходимости ряда .

3. Функция . Ряд Маклорена имеет вид

,

где — остаточный член. Здесь нумерация членов ряда начинается с n = 0.

Радиус сходимости

.

Область сходимости ряда .

Пример 9.5. Разложить в ряд по степеням х функцию .

Воспользуемся формулой косинуса суммы двух углов, запишем

.

Пример 9.6. Будем считать справедливым разложение функции в ряд Маклорена при мнимом показателе , т. е.

.

Здесь — мнимая единица. Так как и т. д., то

.

Сгруппируем действительные и мнимые члены этого ряда, получим

.

Отсюда получаем известную формулу Эйлера

.

4. Получим разложение по степеням х для функции .

Данная функция удовлетворяет уравнению ,

т. е. или

.

Будем искать разложение функции по степеням х в виде

.

Продифференцируем почленно этот ряд

и подставим и в уравнение , получим

.

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях этого уравнения . при этом учтем, что при ,

т. е. .

При : .

При : .

Представленная информация была полезной?
ДА
58.7%
НЕТ
41.3%
Проголосовало: 1092

При :

.

Далее, приравнивая коэффициенты при , можно получить . Тогда при :

.

Таким образом, получаем разложение функции .

.

Найдем радиус сходимости этого ряда

.

Интервал сходимости ряда .

На основании теоремы Вейерштрасса о равномерной сходимости любой степенной ряд в интервале сходимости является равномерно сходящимся. Поэтому ряд составленный из интегралов членов такого ряда сходится к интегралу от суммы этого ряда. Используем это свойство для получения разложений в степенной ряд функций:

и .

5. Для функции можно записать .

При выражение можно представить как сумму убывающей геометрической прогрессии

.

Так как при этот ряд (прогрессия) сходится равномерно, то его можно почленно интегрировать. Находим

.

Следовательно,

.

Найдем радиус сходимости этого ряда.

.

Интервал сходимости ряда .

6. Для функции справедливо равенство .

При функцию можно представить как сумму убывающей геометрической прогрессии , которая сходится равномерно.

Интегрируя почленно, получим

.

Следовательно,

.

Радиус сходимости ряда

.

Интервал сходимости ряда .

7. Для функции справедливо равенство

.

Запишем разложение биномиального ряда

.

Данный ряд сходится равномерно при .

Интегрируем ряд почленно, получим

Следовательно,

.

Интервал сходимости ряда .


Поделиться статьей
Автор статьи
Анастасия
Анастасия
Задать вопрос
Эксперт
Представленная информация была полезной?
ДА
58.7%
НЕТ
41.3%
Проголосовало: 1092

или напишите нам прямо сейчас:

Написать в WhatsApp Написать в Telegram

ОБРАЗЦЫ ВОПРОСОВ ДЛЯ ТУРНИРА ЧГК

Поделиться статьей

Поделиться статьей(Выдержка из Чемпионата Днепропетровской области по «Что? Где? Когда?» среди юношей (09.11.2008) Редакторы: Оксана Балазанова, Александр Чижов) [Указания ведущим:


Поделиться статьей

ЛИТЕЙНЫЕ ДЕФЕКТЫ

Поделиться статьей

Поделиться статьейЛитейные дефекты — понятие относительное. Строго говоря, де­фект отливки следует рассматривать лишь как отступление от заданных требований. Например, одни


Поделиться статьей

Введение. Псковская Судная грамота – крупнейший памятник феодального права эпохи феодальной раздробленности на Руси

Поделиться статьей

Поделиться статьей1. Псковская Судная грамота – крупнейший памятник феодального права эпохи феодальной раздробленности на Руси. Специфика периода феодальной раздробленности –


Поделиться статьей

Нравственные проблемы современной биологии

Поделиться статьей

Поделиться статьейЭтические проблемы современной науки являются чрезвычайно актуальными и значимыми. В связи с экспоненциальным ростом той силы, которая попадает в


Поделиться статьей

Семейство Первоцветные — Primulaceae

Поделиться статьей

Поделиться статьейВключает 30 родов, около 1000 видов. Распространение: горные и умеренные области Северного полушария . многие виды произрастают в горах


Поделиться статьей

Вопрос 1. Понятие цены, функции и виды. Порядок ценообразования

Поделиться статьей

Поделиться статьейЦенообразование является важнейшим рычагом экономического управления. Цена как экономическая категория отражает общественно необходимые затраты на производство и реализацию туристского


Поделиться статьей

или напишите нам прямо сейчас:

Написать в WhatsApp Написать в Telegram
Заявка
на расчет