4. Разложение вектора по базису. Базис в пространстве
Базис векторного пространства – совокупность линейно независимых векторов, упорядоченная и в своей численности равная размерности пространства.
Векторное пространство с размерностью n имеет столько базисов, сколько существует линейно независимых систем из n-мерных векторов числом n.
Плоскость является двумерным пространством – ее базисом будут два любых неколлинеарных вектора. Базисом трехмерного пространства послужат три любых некомпланарных вектора.
5. Проекция вектора. Теоремы о проекциях.
Разность x 2 − x 1 между координатами проекций конца и начала вектора АВ на ось L называется проекцией вектора АБ на эту ось
Т.Проекция вектора a на ось l равна модулю вектора a, умноженному на косинус угла ϕ между вектором и осью: прl a = a cosϕ.
Т. Проекция суммы двух векторов на ось равна сумме проекций слагаемых векторов на ось.Т. прl (λ a)= λ прl a
6. Скалярное произведение векторов. Свойства и приложение
Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними.
теорема косинусов легко выводится с использованием скалярного произведения:
Угол между векторами: 
Оценка угла между векторами: в формуле 
знак определяется только косинусом угла (нормы векторов всегда положительны). Поэтому скалярное произведение > . 0, если угол между векторами острый, и < . 0, если угол между векторами тупой.
Проекция вектора 
на направление, определяемое единичным вектором 
: 
,
условие ортогональности [2] (перпендикулярности) векторов 
и 
: 
Площадь параллелограмма, натянутого на два вектора 
и 
, равна 
Скалярное произведение в координатах
Если 
то 
Угол между векторами
