Теорема. Всякий вектор 
может быть представлен в виде линейной комбинации всех координатных ортов с проекциями рассматриваемого вектора на соответствующие координатные оси, т.е.
.
Здесь используются обозначения: 
, 
, 
.
Доказательство.
Совместим начало вектора 
с началом декартовой системы координат, т.е. построим вектор 
такой, что 
.
Построим составляющие вектора 
по координатным осям:
, 
, 
.
Согласно определению суммы векторов,
, или, что то же самое, 
.
Если применить теперь теорему о связи между составляющей вектора по оси и ортом этой оси, то получим 
т.е. 
что и требовалось доказать.
Теорема. Разложение вектора по координатным ортам единственно.
Доказательство. Пусть 
. Покажем, что 
, 
, 
Вычислим проекцию вектора 
на ось 
. На основании теоремы о проекции суммы векторов на ось 
.
Воспользуемся теоремой о проекции на ось произведения вектора на скаляр. Тогда получим 
. Так как 
, 
, 
, то имеем 
и потому 
.
Аналогично можно доказать, что 
и 
