Описание презентации по отдельным слайдам:
-
1 слайд
ГБПОУ «Новоазовский индустриальный техникум»
Преподаватель математики НИТ ФЕСЕНКО ОЛЬГА ВАСИЛЬЕВНА
ТЕМА «Наибольшее и наименьшее значения функции» -
2 слайд
Цели:
1. Приобщение учащихся к самостоятельной практической и творческой деятельности, расширение математического кругозора, реализация межпредметных связей с различными отраслями деятельности человека.2. Формирование навыков исследовательской деятельности; развитие познавательного интереса, внимания и наблюдательности.
3. Воспитывать стремление к совершенствованию знаний, алгоритмическую культуру, интерес к предмету, трудолюбие.
-
3 слайд
АКТУАЛИЗАЦИЯ ТЕМЫ
Демонстрируются квадраты, имеющие одинаковую площадь. Из них предлагается сделать коробочки и вычислить их объём. -
4 слайд
Площади равны
« А вместимость ?» -
5 слайд
Хотя поверхность параллелепипедов была одинаковой, объёмы получились разные. Естественно возникает вопрос, при каких размерах, коробка будет иметь наибольшую вместимость.
«Особенную важность имеют те методы науки, которые позволяют решать задачу, общую для всей практической деятельности человека: КАК РАСПОЛАГАТЬ СВОИМИ СРЕДСТВАМИ ДЛЯ ДОСТИЖЕНИЯ НАИБОЛЬШЕЙ ВЫГОДЫ»
П.Л. ЧЕБЫШЕВ
С такими задачами в наше время приходится иметь дело представителям самых разных специальностей. Технологи стараются так организовать производство, чтобы выпускалось как можно больше продукции. Конструкторы пытаются разработать прибор так, чтобы его масса была наименьшей. Экономисты стараются спланировать связи с заводом так, чтобы транспортные расходы оказались минимальными и т. д.
Задачи подобного рода носят общее название — задачи на оптимизацию (от латинского слова optimum – наилучший). В самых простых задачах на оптимизацию мы имеем дело с двумя величинами, одна из которых зависит от другой, причем надо найти такое значение второй величины, при котором первая принимает своё наибольшее или наименьшее (т. е. наилучшее в данных условиях) значение. -
6 слайд
ЗАДАЧИ НА ОПТИМИЗАЦИЮ
(запись алгоритма решения)Задачи на оптимизацию решаются по обычной схеме:
Составить математическую модель задачи;
Ввести переменную (Х), через которую выразить другие величины;
Записать формулу, выражающую зависимость искомой функции от Х и исходных данных;
Определить промежуток, на котором данная функция существует;
Найти производную полученной функции;
Найти критические точки функции;
Вычислить значение функции в критических точках;
Вычислить значение функции на концах промежутка;
Из всех полученных значений выбрать самое большое (max) или самое малое (min). -
7 слайд
Коллективное поэтапное решение задачи о получении коробки с наибольшим объёмом из квадрата заданной площади.
Пусть имеется квадрат со стороной 12 дм, из которого надо изготовить коробку наибольшей вместимости.
Обозначим длину будущей коробки – х (0‹х‹12),
тогда по углам заготовки нужно будет вырезать квадратики
со стороной — (12-х)/2 -
8 слайд
Коллективное поэтапное решение задачи о получении коробки с наибольшим объёмом из квадрата заданной площади.
Объём коробки будет равен:
(12-х)/2*х*х, т. е. V=(12*х2-х3)/2;
Найдём производную полученной функции:
V΄=(24*х-3х2)/2;
Найдем критические точки функции, для чего прировняем производную к нулю:
V΄=0.
( 24*х-3х2)/2=0, 3*х*(8-х)=0, х=0 и х=8.
Найдем значения функции V на концах промежутка (0;12) и при х=8:
V (0)=0, V (12)=0, V (8)=64*(12-8)/2= 32*4=128(дм3) -
9 слайд
Правила нахождения
наибольшего и наименьшего
значений функции f(x) на отрезке [a;b]
1. Найти область определения функции.
2. Найти производную .
3. Найти на данном отрезке критические точки, т. е. точки, в которых производная = 0 или не существует.
4. Вычислить значения функции в критических точках и на концах отрезка.
5. Из вычисленных значений выбрать наименьшее и наибольшее.
Записывают так: max f(x) и min f(x)
[a;b] [a;b] -
10 слайд
у
х
0
-7
6
1. Найти наибольшее значение функции по её графику на [ -5;6] и [-7; 6]
5
4
2
-5
у наиб. = 4
[-5; 6]
у наиб. = 5
[-7; 6]
1
1 -
11 слайд
у
х
0
-7
6
2. Найти наименьшее значение функции по её графику на [ -7;4] и [-7; 6]
у наим. =- 3
[-7; 4]
у наим. = -4
[-7; 6]
-3
-2
4
-4 -
12 слайд
а) если х = хо – точка максимума,
то унаиб= f(xo)
y
x
Y= f(x)
а
b
У наиб.
хо
0
y
x
Y= f(x)
а
b
хо
0
У наим.
Теорема. Пусть функция у = f(x) непрерывна на промежутке Х и имеет внутри него единственную стационарную или критическую точку х = хо. Тогда:
б) если х = хо – точка минимума,
то унаим= f(xo) -
13 слайд
x = –1
[-2; 0]
2. Найдем критические точки, которые принадлежат заданному отрезку.
4. Выбрать наибольшее из полученных значений.
1) y(0) = 4
y(-2) = (-2)3– 3 (-2) +4 = 2
2) y / = 3×2 – 3 = 3(x2 – 1) = 3(x – 1)(x + 1)
x = 1
[-2; 0]
y(-1) = (-1)3– 3 (-1) + 4 = 6
3. Значения функции в критических точках, которые принадлежат заданному отрезку.
Найти наибольшее значение функции
y = x3 – 3x + 4
1. Значения функции в концах отрезка.
Ответ: 6 -
14 слайд
Найти наибольшее и наименьшее значение функции
у = х³ — 5х² + 7х на [-1; 2]
без построения графика.
Задание
Ответ: : у наим = у (-1) = -13; у наиб = у(1) = 3 -
15 слайд
Найти наибольшее и наименьшее значение функции
на отрезке
Задание -
16 слайд
ПРИМЕР.
Рекламный щит имеет форму прямоугольника S=9 м2. Изготовьте щит в виде прямоугольника с наименьшим периметром.Решение. Составим математическую модель задачи :
Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции широко применяется при решении многих практических задач на нахождение наилучших, оптимальных решений при наименьших затратах труда, в так называемых задачах на оптимизацию
-
17 слайд
Из всех прямоугольников площадью 9 кв. м найти прямоугольник наименьшего периметра.
1. Р – периметр прямоугольника
2. х ( м ) – длина прямоугольника
х -
18 слайд
x = 3 – точка минимума, значит функция р ( х ) в этой точке принимает наименьшее значение. Следовательно и периметр прямоугольника будет наименьшим. Р = 3*4= =12м.
0
3
х
+
— -
19 слайд
Домашнее задание Алгебра и начала анализа.10-11 классы Ш.А.Алимов Москва «Просвещение» 2016.
1 Ознакомиться п.52, выучить схему;
2. Решить №943
Согласно легенде, основательница Карфагена — Дидона, дочь тюркского царя, поссорилась со своим братом Пигмилионом и убежала из дому. После многочисленных приключений она достигла берега Средиземного моря, где за некоторую сумму денег она купила делянку земли, («не больше, чем можно отмерять шкурою быка»).
Местные жители без особого восторга дали согласие ей занять территорию, рассчитывая на то, что согласно условию, Дидоне достанется слишком маленькая площадь для поселения. Но находчивая Дидона разрезала шкуру быка на тонкие полоски, связала их в ремень и, закрепив его конец на берегу моря, с другим концом пошла в глубь побережья.
Именно тогда и встала перед нею задача: какую форму придать ремню, чтобы отмерять «шкурою быка» как можно большую площадь.
Согласно этой легенде Дидоне удалось отделить довольно обширную территорию, где ею и был основан город КАРФАГЕН.
Как видим Дидона столкнулась с интересной математической задачей, которую часто теперь называют её именем: из всех плоских фигур с заданным периметром (длина ремня) найти ту, которая имеет наибольшую площадь.
ПОДУМАЙ!!!
