1) Длину ребра найдем как длину вектора по формуле [7] 2) Угол между ребрами и найдем как угол между векторами и , пользуясь определением скалярного произведения: [13].
,
. . .
2) Площадь грани вычислим с помощью векторного произведения [1]
, ,
3) Объем пирамиды вычислим с помощью смешанного произведения трех векторов, на которых построена пирамида, [9].
4) Уравнение прямой найдем по формуле:
уравнение прямой, проходящей через две точки [1]
.
5) Для того, чтобы составить уравнение плоскости , возьмем текущую точку плоскости. Векторы , , лежат в этой плоскости, т.е. они являются компланарными. Воспользуемся условием компланарности трех векторов:
В силу условия компланарности уравнение плоскости имеет вид:
7) Угол между ребром и гранью (a) найдем по формуле
, где нормальный вектор плоскости , , .
8) Чтобы составить уравнение высоты, опущенной из вершины на грань , воспользуемся каноническими уравнениями прямой , где — координаты точки, через которую проходит прямая, а — координаты направляющего вектора [10].
Искомая прямая проходит через точку . Так как прямая и плоскость перпендикулярны, то нормальный вектор плоскости параллелен прямой. Поэтому за направляющий вектор прямой берем вектор . Уравнение прямой, опущенной из вершины , имеют вид: .