Пример 1. В параллелепипеде АВСD 
даны координаты вершин А, В, С, 
. 
, 
, 
, 
.Найти: 1) координаты вершин D . 2) площадь грани АВСD . 3) объем параллелепипеда . 4) уравнение плоскости 
. 5) уравнение ребра 
(канонические и общие) . 6) угол между диагональю 
и плоскостью 
. 7) уравнение и длину высоты, проведенной из вершины D на грань 
. 8) координаты точки пересечения высоты Н D’ c гранью 
.
Решение. 1. Пусть 
.Воспользовавшись равенством векторов 
где 
, 
. Получим 
. Координаты точки 
. Ответ: 
.
2. Известно, что 
. Находим: 
, 
, 
.
.
Ответ: 
(кв.ед).
3. Поскольку 
, 
.
Находим: 
,
. Ответ: 
(куб.ед.).
4. Используя формулу 
(уравнение плоскости по трем точкам), составляем уравнение плоскости ABCD:
, 
.
Ответ: 
.
5. Учитывая уравнение прямой, проходящей через две точки: 
, уравнение прямой 
можно записать в виде 
(каноническое уравнение 
), а общее уравнение ребра 
имеет вид: 
Ответ: 
– каноническое уравнение ребра 
, 
– общее уравнение ребра 
.
6. Из равенства 
найдем координаты точки 
, т.е. 
. Тогда 
, 
. По формуле
,
.
Ответ: 
.
7. Из условия перпендикулярности прямой 
и плоскости АВСD следует, что в качестве направляющего вектора 
можно взять нормальный вектор 
плоскости АВСD. Тогда уравнение прямой 
с учетом уравнений 
(каноническое уравнение прямой) запишется в виде 
, где координаты точки 
находим: из равенства векторов 
, 
, т.е. 
. Длину высоты 
вычисляем как расстояние от точки 
до плоскости АВСD по формуле:
|
|
|
.
Ответ: 
.
8. Запишем параметрическое уравнение прямой 
, перпендикулярной к данной плоскости АВСD, 
(уравнение плоскости АBCD). 
– параметрическое уравнение прямой 
. Решив их совместно с уравнением данной плоскости, найдем параметр t: т.е. 
,
, 
, 
.
Следовательно, координаты точки Н пересечения прямой 
с плоскостью ABCD: 
, 
, 
.
Итак 
.
Ответ. 
.
