1. Признак Даламбера с использованием нижнего и верхнего предела
1) Если 
то ряд сходится.
2) Если 
то ряд расходится и 
В признаке Даламбера исследуются отношения 
и в случае 
нужно уточнение этого представления. Предположим, что имеет место уточнение 
Если 
, то ряд сходится, а при 
нельзя сделать определённого вывода . нужно некоторое уточнение. Указанный признак сходимости называется признаком Раабе.
Объединённый признак Раабе и Даламбера называют признаком Гаусса:
1) 
ряд расходится .
2) 
ряд сходится .
3) 
ряд сходится .
4) 
ряд расходится.
Доказательство (признак Раабе). Доказательство основано на применении обобщённого признака сравнения при сравнении с обобщённым гармоническим рядом 
.
Пусть 
сходится. Имеем:
Доказано.
Пример. Исследовать сходимость ряда в зависимости от параметра р 
.
если 
ряд сходится .
ряд расходится .
при 
нужны дополнительные исследования.
Применим формулу Стирлинга 
ряд расходится .
ряд сходится.
2. Радикальный признак Коши
Пусть 
тогда:
1) 
ряд сходится .
2) 
ряд расходится 
Доказательство. Верхний предел последовательности – это наибольший частичный предел, или 
1) 
2) 
Если 
и для 
и по признаку сравнения со сходящейся геометрической прогрессией данный ряд сходится.
Пусть 
и 
для 
Доказано.
Радикальный признак Коши «сильнее», чем признак Даламбера, т.е. любой ряд, который можно исследовать при помощи признака Даламбера, можно и исследовать при помощи признака Коши. Но есть такие ряда, которые нельзя исследовать при помощи признака Даламбера, но можно исследовать при помощи признака Коши.
Пример. 
По радикальному признаку Коши ряд сходится.
Используем признак Даламбера.
Получаем неясность.
3. Признак Коши для рядов с монотонными членами
Пусть 
невозрастающая 
Тогда 
— сходится 
сходится.
Доказательство. Необходимость.
Пусть ряд 
– сходится Þ 
ограниченная Þ
ограниченная Þ ряд 
– сходится.
Достаточность.
Пусть ряд 
– сходится Þ 
ограниченная Þ
ограниченная Þ ряд 
— сходится.
Пример 1. 
убывающая.
сходится 
Пример 2. 
сходится 
сходится при 
