X-PDF

Скалярное произведение векторов и его свойства

Поделиться статьей

Координаты вектора.

Найдем координаты вектора а = АВ, если известны координаты точек А(x1, y1, z1) и В(x2, y2, z2).

Z A Имеем: АВ = ОВ – ОА =(x2i+y2j+z2k)-(x1i+y1j+z1k)=

(x2— x1)i + (y2 — y1)j + (z2 — z2)k

B Следовательно, координаты вектора равны разнос-

ти соответствующих координат конца и начала век-

тора.

АВ = (x2— x1 . y2 — y1 . z2 — z2)

k

i j y

x

Скалярным произведением двух ненулевых векторов а и b называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

(1)

где φ – угол между векторами а и b

Формуле (1) можно придать иной вид, так как │а│cosφ = прba и │b│cosφ = праb, то получим:

(2)

а

φ

b

То есть Скалярное произведение двух векторов равно модулю одного из них, умноженного на проекцию другого на ось.

Свойства скалярного произведения:

1) Скалярное произведение обладает переместительным свойством.

Представленная информация была полезной?
ДА
58.89%
НЕТ
41.11%
Проголосовало: 776

так как │а││b│= │b││a│, cos(a,b) = cos(b,a), то ab = ba

2)Скалярное произведение обладает сочетательным свойством, относительно скалярного множителя.

(λa)b = λ (ba)

(λa)b = │b│прbλa = λ│b│прba = λ (ab)

3) Скалярное произведение обладает распределительным свойством:

a(b + с) = ab + ac

a(b + c) = │a│пра(b+c) = │a│(прab+прac) = │a│прab+│a│прaс = ab + ac

4) Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины.

а2 = │а│2

а2 = а∙а = │а│∙│а│cos1 = │а│∙│а│= │a│2

В частности i2 = j2 = k2 = 1

Если а возвести скалярно в квадрат и затем извлечь корень, то получим не первоначаль-

ный вектор, а его модуль.

Пример:

Найти длину вектора с=3а-4b, если │а│=2 .│b│=3 . (a,b)=π3

Решение:

│с│=

5)Если вектора a и b ненулевые, взаимно перпендикулярны, то их скалярное произведение равно 0.

Следовательно верно и обратное утверждение: если произведение векторов а и b равно 0, значит вектора взаимно перпендикулярны.

В частности: ij = jk = ki = 0


Поделиться статьей
Автор статьи
Анастасия
Анастасия
Задать вопрос
Эксперт
Представленная информация была полезной?
ДА
58.89%
НЕТ
41.11%
Проголосовало: 776

или напишите нам прямо сейчас:

Написать в WhatsApp Написать в Telegram

ОБРАЗЦЫ ВОПРОСОВ ДЛЯ ТУРНИРА ЧГК

Поделиться статьей

Поделиться статьей(Выдержка из Чемпионата Днепропетровской области по «Что? Где? Когда?» среди юношей (09.11.2008) Редакторы: Оксана Балазанова, Александр Чижов) [Указания ведущим:


Поделиться статьей

ЛИТЕЙНЫЕ ДЕФЕКТЫ

Поделиться статьей

Поделиться статьейЛитейные дефекты — понятие относительное. Строго говоря, де­фект отливки следует рассматривать лишь как отступление от заданных требований. Например, одни


Поделиться статьей

Введение. Псковская Судная грамота – крупнейший памятник феодального права эпохи феодальной раздробленности на Руси

Поделиться статьей

Поделиться статьей1. Псковская Судная грамота – крупнейший памятник феодального права эпохи феодальной раздробленности на Руси. Специфика периода феодальной раздробленности –


Поделиться статьей

Нравственные проблемы современной биологии

Поделиться статьей

Поделиться статьейЭтические проблемы современной науки являются чрезвычайно актуальными и значимыми. В связи с экспоненциальным ростом той силы, которая попадает в


Поделиться статьей

Семейство Первоцветные — Primulaceae

Поделиться статьей

Поделиться статьейВключает 30 родов, около 1000 видов. Распространение: горные и умеренные области Северного полушария . многие виды произрастают в горах


Поделиться статьей

Вопрос 1. Понятие цены, функции и виды. Порядок ценообразования

Поделиться статьей

Поделиться статьейЦенообразование является важнейшим рычагом экономического управления. Цена как экономическая категория отражает общественно необходимые затраты на производство и реализацию туристского


Поделиться статьей

или напишите нам прямо сейчас:

Написать в WhatsApp Написать в Telegram
Заявка
на расчет