Скалярное произведение векторов и его свойства

Координаты вектора.

Найдем координаты вектора а = АВ, если известны координаты точек А(x₁, y₁, z₁) и В(x₂, y₂, z₂).

Z A Имеем: АВ = ОВ – ОА =(x₂i+y₂j+z₂k)-(x₁i+y₁j+z₁k)=

(x₂— x₁)i + (y₂ — y₁)j + (z₂ — z₂)k

B Следовательно, координаты вектора равны разнос-

ти соответствующих координат конца и начала век-

тора.

АВ = (x₂— x₁ . y₂ — y₁ . z₂ — z₂)

k

i j y

x

Скалярным произведением двух ненулевых векторов а и b называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

(1)

где φ – угол между векторами а и b

Формуле (1) можно придать иной вид, так как │а│cosφ = пр_ba и │b│cosφ = пр_аb, то получим:

(2)

а

φ

b

То есть Скалярное произведение двух векторов равно модулю одного из них, умноженного на проекцию другого на ось.

Свойства скалярного произведения:

1) Скалярное произведение обладает переместительным свойством.

так как │а││b│= │b││a│, cos(a,b) = cos(b,a), то ab = ba

2)Скалярное произведение обладает сочетательным свойством, относительно скалярного множителя.

(λa)b = λ (ba)

(λa)b = │b│пр_bλa = λ│b│пр_ba = λ (ab)

3) Скалярное произведение обладает распределительным свойством:

a(b + с) = ab + ac

a(b + c) = │a│пр_а(b+c) = │a│(пр_ab+пр_ac) = │a│пр_ab+│a│пр_aс = ab + ac

4) Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины.

а² = │а│²

а² = а∙а = │а│∙│а│cos1 = │а│∙│а│= │a│²

В частности i² = j² = k² = 1

Если а возвести скалярно в квадрат и затем извлечь корень, то получим не первоначаль-

ный вектор, а его модуль.

Пример:

Найти длину вектора с=3а-4b, если │а│=2 .│b│=3 . (a,b)=π3

Решение:

│с│=

5)Если вектора a и b ненулевые, взаимно перпендикулярны, то их скалярное произведение равно 0.

Следовательно верно и обратное утверждение: если произведение векторов а и b равно 0, значит вектора взаимно перпендикулярны.

В частности: ij = jk = ki = 0