Для геометрических векторов скалярное произведение определяется через их геометрические характеристики и вводится следующим образом: 
Это выражение можно переписать через координаты (здесь формула для трехмерного пространства): 
4.) Коллинеарность и компланарность
Вектора, параллельные одной прямой или лежащие на одной прямой называют коллинеарными векторами 
Условия коллинеарности векторов
Два вектора будут коллинеарны при выполнении любого из этих условий:
1. Два вектора a и b коллинеарны, если существует число n такое, что
a = n · b
2. Два вектора коллинеарны, если отношения их координат равны.
N.B. Условие 2 неприменимо, если один из компонентов вектора равен нулю.
3. Два вектора коллинеарны, если их векторное произведение равно нулевому вектору. Векторное произведение двух векторов a = {ax . ay . az} и b = {bx . by . bz} в декартовой системе координат — это вектор, значение которого можно вычислить, используя следующие формулы: a x b= матрица i j k ax ay az bx by bz, или a x b= {aybz — azby . azbx — axbz . axby — aybx} = Sпарал
N.B. Условие 3 применимо только для трехмерных (пространственных) задач.
—
Три вектора (или большее число) называются компланарными, если они, будучи приведенными к общему началу, лежат в одной плоскости.
Свойства компланарности
Пусть 
— векторы пространства 
. Тогда верны следующие утверждения:
1.Если хотя бы один из трёх векторов — нулевой, то три вектора тоже считаются компланарными.
2.Тройка векторов, содержащая пару коллинеарных векторов, компланарна.
3.Смешанное произведение компланарных векторов 
. Это — критерий компланарности трёх векторов.
Компланарные векторы — линейно зависимы. Это — тоже критерий компланарности.
4.Существуют действительные числа 
такие, что 
для компланарных 
, за исключением случаев 
или 
. Это — переформулировка предыдущего свойства и тоже критерий компланарности.
5.В 3-мерном пространстве 3 некомпланарных вектора 
образуют базис. То есть любой вектор 
можно представить в виде: 
. Тогда 
будут координатами 
в данном базисе.
