Случайных величин

Математическим ожиданиемдискретной случайной величины называется сумма произведений всех ее возможных значений на их вероятности:

. (3.1)

Математическое ожидание оценивает среднее значениеслучайной величины.

Свойства математического ожидания:

1. М (С) = С.

2. М (СХ) = СМ (Х).

3. М (Х + Y) = M (X) + M (Y).

4. М (ХY) = M (X) M (Y), случайные величины X и Y независимые.

Отклонением случайной величины X от ее математического ожиданияM(X) называется случайная величина X – M (X).

Дисперсиейслучайной величины X называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

. (3.2)

Дисперсия характеризует степень разброса значенийслучайной величины относительно математического ожидания.

Свойства дисперсии:

1. D (C) = 0.

2. D (CX) = C ²D (X).

3. D (X ± Y) = D (X) + D (Y).

Дисперсию случайной величины удобно вычислять по формуле

. (3.3)

Средним квадратическим отклонениемслучайной величины называется корень квадратный из дисперсии, т. е.

. (3.4)

Так же как и дисперсия среднее квадратическое отклонение характеризует степень разброса значенийслучайной величины относительно математического ожидания. Единицы измерения M (X) и совпадают, D (X) измеряется в единицах квадратных.

Пример 3.9. Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины, ряд распределения которой получили в примере 3.8.

Решение

В примере 3.8 получили приведенный ниже ряд распределения

X
pi

1. По формуле (3.1) найдем математическое ожидание:

.

2. По формуле (3.3) определим дисперсию:

.

.

3. По формуле (3.4) найдем среднее квадратическое отклонение:

.

Пример 3.10. Найти математическое ожидание случайной величины Y = 3 X + 5, если M (X) = 2.

Решение

Используя свойства математического ожидания, получим:

Ответ: 11.

Пример 3.11. Найти дисперсию случайной величины Y = 3 X + 5, если D (X) = 4.

Решение

Используя свойства дисперсии, получим:

.

Ответ: 36.

Тест 3.5. математическое ожидание дискретной случайной величины, заданной рядом распределения

x	-1
pi	0,1	0,7	0,2

равно:

1) –2 .

2) 0 .

3) 1 .

4) 0,014 .

5) 0,1.

Тест 3.6. Дисперсия дискретной случайной величины, заданной рядом распределения

x	-1
pi	0,1	0,7	0,2

равна:

1) .

2) .

3) .

4) .

5) .

Тест 3.7. Известно математическое ожидание случайной величины X: M (X) = 1. Тогда математическое ожидание случайной величины Y = 2 + 7 X будет равно:

1) 2 .

2) 9 .

3) 1 .

4) 7 .

5) 0.

Тест 3.8. Дисперсия случайной величины равна 2. Тогда дисперсия случайной величины будет равна:

1) 2 .

2) 9 .

3) 49 .

4) 10 .

5) 50.