Определение: Ненулевой вектор 
называется собственным вектором матрицы А, если существует такое число l, что выполняется равенство:
A
.
Число l называется собственным значением матрицы А, соответствующим вектору 
.
Определение: Матрица 
называется характеристической матрицей матрицы 
, многочлен 
называется характеристическим многочленом матрицы 
, уравнение 
называется характеристическим уравнением матрицы 
.
Пример. Найдите собственные числа и собственные векторы матрицы
.
Решение. Составляем характеристическую матрицу 
:
Находим характеристический многочлен:
Решим характеристическое уравнение:
Подбором находим, что один корень уравнения равен -1. По теореме Безу, которая говорит, что если число 
является корнем многочлена 
, то многочлен 
делится на разность 
, то есть 
, где 
— многочлен. В соответствии с этой теоремой многочлен 
должен делиться на 
. Выделим в характеристическом многочлене этот множитель 
:
Находим корни трехчлена 
. Они равны -1 и 3. Таким образом,
— корень кратности 2, 
— корень. Итак, собственные числа матрицы 
равны 
, 
.
Найдем соответствующие им собственные векторы.
Пусть 
, тогда для собственного вектора 
получаем матричное уравнение:
что соответствует системе уравнений:
Решаем ее методом Гаусса. Выписываем расширенную матрицу системы:
Первую строку, умноженную на числа -2 и -3, прибавляем соответственно ко второй и третьей строкам:
Меняем местами вторую и третью строки:
Возвращаемся к системе уравнений:
Переменные 
и 
оставляем в левой части, а переменную 
переносим в правую часть:
Полагаем 
, находим 
, 
при 
.
Итак, собственному числу 
соответствует собственный вектор 
.
Пусть 
, тогда для собственного вектора 
получаем матричное уравнение:
что соответствует системе уравнений:
Решаем ее методом Гаусса. Выписываем расширенную матрицу:
Первую строку умножаем на числа 2 и 3 и прибавляем соответственно ко второй и третьей строкам:
Вторую строку умножаем на -1 и прибавляем к третьей:
Возвращаемся к системе уравнений:
Переменные 
и 
оставляем в левой части, а переменную 
переносим в правую часть:
Полагаем 
, находим 
, 
.
Итак, собственному числу 
соответствует собственный вектор 
.
Чтобы избавиться от дроби, умножим собственный вектор на 2, получим собственный вектор с тем же самым собственным числом. В итоге собственному числу 
соответствует собственный вектор 
.
Ответ: Собственные числа: 
, 
, соответствующие собственные векторы: 
, 
.
