Под асимптотикой, или асимптотическим поведением функции в окрестности некоторой точки , понимают описание поведения функции вблизи точки , в которой функция, как правило, не определена.
Асимптотическое поведение функции обычно характеризуют с помощью другой, более простой или более изученной функции, которая в окрестности исследуемой точки с малой относительной погрешностью воспроизводит значения изучаемой функции.
Определение. Если и — бесконечно малые функции в и
,
то они называются бесконечно малыми одного порядка малости при .
Определение. Если , — бесконечно большие функции и
,
то они называются бесконечно большими одного порядка роста при .
Определение. Если функции , — бесконечно малые и , то говорят, что является бесконечно малой функцией более высокого порядка по сравнению с функцией .
Определение. Если функции , — бесконечно малые и
то они называются эквивалентными при .
Функции и , эквивалентные при , называют также асимптотически равными при .
|
|
Асимптотическое равенство (эквивалентность) функций обозначается символом ~.
~ .
Например, из первого замечательного предела следует
~ .
Теорема. Предел отношения двух бесконечно малых функций равен пределу отношения эквивалентных им функций, т. е. если при ~ и ~ .