Пусть — коммутативное кольцо, J — идеал этого кольца, тогда алгебра — подкольцо данного кольца, а значит сама является кольцом. По определению кольца, — аддитивная абелева группа, — ее подгруппа, причем, т.к. абелева, то — нормальный делитель этой группы. Следовательно, он определяет разбиение группы на непересекающиеся смежные классы по подгруппе .
В кольце эти смежные классы называются классами вычетов по идеалу J. Множество классов вычетов кольца по идеалу J будем обозначать K/J.
Пример
5.1. Пусть — кольцо целых чисел, J =(3), J=3Z.
Построим классы вычетов кольца по идеалу J=3Z.
2+3Z | …-1, 2, 5, 8, … |
1+3Z | …-2, 1, 4, 7, … |
3Z | …-3, 0, 3, 6, … |
Z/3Z={3Z, 1+3Z, 2+3Z} – множество классов вычетов кольца по идеалу J=(3)=3Z.
Определение. Элементы a и b кольца называются сравнимыми по идеалу J, если .
Этот факт обозначают .
Например, в кольце для идеала J =(3)
, т.к. 19-4=15
Критерий сравнимости по идеалу
Для того чтобы два элемента кольца были сравнимы по идеалу J данного кольца необходимо и достаточно, чтобы они принадлежали одному классу вычетов по идеалу J.
|
|
Фактор-кольцо
Рассмотрим множество классов вычетов кольца по идеалу , т.е. множество смежных классов группы по подгруппе .
, где .
На этом множестве в I части была определена операция сложения классов и доказано , т.е. сложение есть алгебраическая операция на множестве .
Определим произведение классов вычетов по идеалу .
Определение. Произведением классов и назовем класс, в котором лежит произведение , т.е. .
Можно доказать, что наше определение не зависит от выбора элементов в классах , . Это означает, что операции умножения — алгебраическая на множестве .
Теорема. Алгебра является кольцом.
Это кольцо называется фактор-кольцом кольца по идеалу .
Примеры
5.2. Постройте фактор-кольцо кольца по идеалу . Составьте таблицы сложения и умножения классов.
Решение: Классы вычетов кольца по идеалу построены в примере 5.1. — множество классов вычетов кольца по идеалу ().
— фактор-кольцо кольца по идеалу .
Таблица сложения |
Таблица умножения |
|||||||
Из таблицы видим: нулевой элемент — класс , противоположные элементы , , . Единичный элемент — класс .
5.3. Постройте фактор-кольцо кольца по идеалу . Составьте таблицы сложения и умножения классов.
Решение: . По определению главного идеала , , видим, что идеал состоит из целых чисел Гаусса с четными действительной частью и коэффициентом при мнимой части.
Разбиваем множество на попарно непересекающиеся классы по идеалу .
|
|
.
.
.
Класс вычетов состоит из целых чисел Гаусса с нечетной действительной частью и четным коэффициентом при мнимой части. Класс состоит из целых чисел Гаусса с четной действительной частью и нечетным коэффициентом при мнимой части. Наконец, класс состоит из целых чисел Гаусса с нечетными действительной частью и коэффициентом при мнимой части. Никаких других классов вычетов, которые были бы отличны от найденных, получить нельзя.
— множество классов вычетов кольца целых чисел Гаусса по идеалу .
— фактор-кольцо кольца по идеалу .
Таблица сложения |
|||||
Таблица умножения |
|||||
Из таблицы видим, что класс — нулевой элемент фактор-кольца, класс — единичный элемент, противоположные элементы:
, , ,
5.4. Укажите числа, принадлежащие одному классу вычетов по идеалу в кольце : , , , , , , , , , , , .
Решение: Используя результаты задачи 5.3, получаем:
классу принадлежат числа , .
классу — числа , , , .
классу — числа , .
классу — числа , , , .