Пусть 
— коммутативное кольцо, J — идеал этого кольца, тогда алгебра 
— подкольцо данного кольца, а значит сама является кольцом. По определению кольца, 
— аддитивная абелева группа, 
— ее подгруппа, причем, т.к. 
абелева, то 
— нормальный делитель этой группы. Следовательно, он определяет разбиение группы 
на непересекающиеся смежные классы по подгруппе 
.
В кольце 
эти смежные классы называются классами вычетов по идеалу J. Множество классов вычетов кольца 
по идеалу J будем обозначать K/J.
Пример
5.1. Пусть 
— кольцо целых чисел, J =(3), 
J=3Z.
Построим классы вычетов кольца 
по идеалу J=3Z.
| 2+3Z | …-1, 2, 5, 8, … |
| 1+3Z | …-2, 1, 4, 7, … |
| 3Z | …-3, 0, 3, 6, … |
Z/3Z={3Z, 1+3Z, 2+3Z} – множество классов вычетов кольца 
по идеалу J=(3)=3Z.
Определение. Элементы a и b кольца 
называются сравнимыми по идеалу J, если 
.
Этот факт обозначают 
.
Например, в кольце 
для идеала J =(3)
, т.к. 19-4=15 
Критерий сравнимости по идеалу
Для того чтобы два элемента кольца 
были сравнимы по идеалу J данного кольца необходимо и достаточно, чтобы они принадлежали одному классу вычетов по идеалу J.
|
|
|
Фактор-кольцо
Рассмотрим множество классов вычетов кольца 
по идеалу 
, т.е. множество смежных классов группы 
по подгруппе 
.
, где 
.
На этом множестве в I части была определена операция сложения классов и доказано 
, т.е. сложение есть алгебраическая операция на множестве 
.
Определим произведение классов вычетов по идеалу 
.
Определение. Произведением классов 
и 
назовем класс, в котором лежит произведение 
, т.е. 
.
Можно доказать, что наше определение не зависит от выбора элементов в классах 
, 
. Это означает, что операции умножения — алгебраическая на множестве 
.
Теорема. Алгебра 
является кольцом.
Это кольцо называется фактор-кольцом кольца 
по идеалу 
.
Примеры
5.2. Постройте фактор-кольцо кольца 
по идеалу 
. Составьте таблицы сложения и умножения классов.
Решение: Классы вычетов кольца 
по идеалу 
построены в примере 5.1. 
— множество классов вычетов кольца 
по идеалу 
(
).
— фактор-кольцо кольца 
по идеалу 
.
|
Таблица сложения |
Таблица умножения |
|||||||
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
|
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
|
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
|
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Из таблицы видим: нулевой элемент — класс 
, противоположные элементы 
, 
, 
. Единичный элемент — класс 
.
5.3. Постройте фактор-кольцо кольца 
по идеалу 
. Составьте таблицы сложения и умножения классов.
Решение: 
. По определению главного идеала 
, 
, видим, что идеал 
состоит из целых чисел Гаусса с четными действительной частью и коэффициентом при мнимой части.
Разбиваем множество 
на попарно непересекающиеся классы по идеалу 
.
|
|
|
.
.
.
Класс вычетов 
состоит из целых чисел Гаусса с нечетной действительной частью и четным коэффициентом при мнимой части. Класс 
состоит из целых чисел Гаусса с четной действительной частью и нечетным коэффициентом при мнимой части. Наконец, класс 
состоит из целых чисел Гаусса с нечетными действительной частью и коэффициентом при мнимой части. Никаких других классов вычетов, которые были бы отличны от найденных, получить нельзя.
— множество классов вычетов кольца целых чисел Гаусса по идеалу 
.
— фактор-кольцо кольца 
по идеалу 
.
|
Таблица сложения |
|||||
 |
 |
 |
 |
 |
|
 |
 |
 |
 |
 |
|
 |
 |
 |
 |
 |
|
 |
 |
 |
 |
 |
|
 |
 |
 |
 |
 |
|
Таблица умножения |
|||||
 |
 |
 |
 |
 |
|
 |
 |
 |
 |
 |
|
 |
 |
 |
 |
 |
|
 |
 |
 |
 |
 |
|
 |
 |
 |
 |
 |
Из таблицы видим, что класс 
— нулевой элемент фактор-кольца, класс 
— единичный элемент, противоположные элементы:
, 
, 
, 
5.4. Укажите числа, принадлежащие одному классу вычетов по идеалу 
в кольце 
: 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
.
Решение: Используя результаты задачи 5.3, получаем:
классу 
принадлежат числа 
, 
.
классу 
— числа 
, 
, 
, 
.
классу 
— числа 
, 
.
классу 
— числа 
, 
, 
, 
.
