X-PDF

Сравнения и классы вычетов по идеалу

Поделиться статьей

Пусть  — коммутативное кольцо,     J —  идеал этого кольца, тогда алгебра   — подкольцо данного кольца, а значит сама является кольцом. По определению кольца,  — аддитивная абелева группа,  — ее подгруппа, причем, т.к.   абелева, то  — нормальный делитель этой группы. Следовательно, он определяет разбиение группы   на непересекающиеся смежные классы по подгруппе .

В кольце   эти смежные классы называются классами вычетов по идеалу J. Множество классов вычетов кольца   по идеалу J будем обозначать K/J.

Пример

5.1. Пусть  — кольцо целых чисел,     J =(3), J=3Z.

Построим классы вычетов кольца  по идеалу J=3Z.

2+3Z …-1, 2, 5, 8, …
1+3Z …-2, 1, 4, 7, …
3Z …-3, 0, 3, 6, …

 

Z/3Z={3Z, 1+3Z, 2+3Z} – множество классов вычетов кольца  по идеалу J=(3)=3Z.

Определение. Элементы a и b кольца  называются сравнимыми по идеалу J, если .

Этот факт обозначают .

Например, в кольце   для идеала J =(3)

, т.к. 19-4=15

Критерий сравнимости по идеалу

Для того чтобы два элемента кольца  были сравнимы по идеалу J данного кольца необходимо и достаточно, чтобы они принадлежали одному классу вычетов по идеалу J.

Фактор-кольцо

Рассмотрим множество классов вычетов кольца  по идеалу , т.е. множество смежных классов группы  по подгруппе .

, где .

На этом множестве в I части была определена операция сложения классов и доказано , т.е. сложение есть алгебраическая операция на множестве .

Определим произведение классов вычетов по идеалу .

Определение. Произведением классов  и  назовем класс, в котором лежит произведение , т.е. .

Можно доказать, что наше определение не зависит от выбора элементов в классах , . Это означает, что операции умножения — алгебраическая на множестве .

Теорема. Алгебра  является кольцом.

Это кольцо называется фактор-кольцом кольца  по идеалу .

Примеры

5.2. Постройте фактор-кольцо кольца  по идеалу . Составьте таблицы сложения и умножения классов.

Решение: Классы вычетов кольца  по идеалу  построены в примере 5.1. — множество классов вычетов кольца  по идеалу  ().

 — фактор-кольцо кольца  по идеалу .

 

Представленная информация была полезной?
ДА
58.73%
НЕТ
41.27%
Проголосовало: 962

Таблица сложения

 

Таблица умножения

 
 
 
 

Из таблицы видим: нулевой элемент — класс , противоположные элементы , , . Единичный элемент — класс .

5.3. Постройте фактор-кольцо кольца  по идеалу . Составьте таблицы сложения и умножения классов.

Решение: . По определению главного идеала , , видим, что идеал  состоит из целых чисел Гаусса с четными действительной частью и коэффициентом при мнимой части.

Разбиваем множество  на попарно непересекающиеся классы по идеалу .

.

.

.

Класс вычетов  состоит из целых чисел Гаусса с нечетной действительной частью и четным коэффициентом при мнимой части. Класс  состоит из целых чисел Гаусса с четной действительной частью и нечетным коэффициентом при мнимой части. Наконец, класс  состоит из целых чисел Гаусса с нечетными действительной частью и коэффициентом при мнимой части. Никаких других классов вычетов, которые были бы отличны от найденных, получить нельзя.

— множество классов вычетов кольца целых чисел Гаусса по идеалу .

 — фактор-кольцо кольца  по идеалу .

Таблица сложения

 
 
 
 
 
 

 

Таблица умножения

 
 
 
 
 
 

 

Из таблицы видим, что класс  — нулевой элемент фактор-кольца, класс — единичный элемент, противоположные элементы:

, , ,

 

5.4. Укажите числа, принадлежащие одному классу вычетов по идеалу  в кольце : , , , , , , , , , , , .

Решение: Используя результаты задачи 5.3, получаем:

классу  принадлежат числа , .

классу  — числа , , , .

классу — числа , .

классу  — числа , , , .

 


Поделиться статьей
Автор статьи
Анастасия
Анастасия
Задать вопрос
Эксперт
Представленная информация была полезной?
ДА
58.73%
НЕТ
41.27%
Проголосовало: 962

или напишите нам прямо сейчас:

Написать в WhatsApp Написать в Telegram

ОБРАЗЦЫ ВОПРОСОВ ДЛЯ ТУРНИРА ЧГК

Поделиться статьей

Поделиться статьей(Выдержка из Чемпионата Днепропетровской области по «Что? Где? Когда?» среди юношей (09.11.2008) Редакторы: Оксана Балазанова, Александр Чижов) [Указания ведущим:


Поделиться статьей

ЛИТЕЙНЫЕ ДЕФЕКТЫ

Поделиться статьей

Поделиться статьейЛитейные дефекты — понятие относительное. Строго говоря, де­фект отливки следует рассматривать лишь как отступление от заданных требований. Например, одни


Поделиться статьей

Введение. Псковская Судная грамота – крупнейший памятник феодального права эпохи феодальной раздробленности на Руси

Поделиться статьей

Поделиться статьей1. Псковская Судная грамота – крупнейший памятник феодального права эпохи феодальной раздробленности на Руси. Специфика периода феодальной раздробленности –


Поделиться статьей

Нравственные проблемы современной биологии

Поделиться статьей

Поделиться статьейЭтические проблемы современной науки являются чрезвычайно актуальными и значимыми. В связи с экспоненциальным ростом той силы, которая попадает в


Поделиться статьей

Семейство Первоцветные — Primulaceae

Поделиться статьей

Поделиться статьейВключает 30 родов, около 1000 видов. Распространение: горные и умеренные области Северного полушария . многие виды произрастают в горах


Поделиться статьей

Вопрос 1. Понятие цены, функции и виды. Порядок ценообразования

Поделиться статьей

Поделиться статьейЦенообразование является важнейшим рычагом экономического управления. Цена как экономическая категория отражает общественно необходимые затраты на производство и реализацию туристского


Поделиться статьей

или напишите нам прямо сейчас:

Написать в WhatsApp Написать в Telegram
Заявка
на расчет