Поиск модели, адекватно описывающей поведение случайной компоненты 
анализируемого временного ряда 
, осуществляется, как правило, в рамках специального класса – класса стационарных временных рядов. Под стационарностью временного ряда понимают неизменность вероятностных свойств членов ряда во времени.
Определение 1.2: ряд 
называется строго стационарным (или стационарным в узком смысле), если совместное распределение вероятностей m наблюдений 
такое же, как и для m наблюдений 
, при любых 
и 
.
В частности, при m =1 из предположения о строгой стационарности временного ряда 
следует, что закон распределения вероятности случайной величины 
не зависит от t, а значит, не зависят от t и все числовые характеристики.
Следовательно, математическое ожидание 
, дисперсия D(x (t))=σ2 случайной величины x (t), могут быть оценены по наблюдениям x 1, x 2, …, xn: 
— оценка математического ожидания (1.2)
— оценка дисперсии (1.3)
Простейшим примером стационарного вероятностного ряда является «белый шум», т.е. стационарный ряд у которого математическое ожидание равно нулю, а члены некоррелированы (
).
|
|
|
Из предположения о строгой стационарности временного ряда x (t) при 
следует, что степень тесноты связи между последовательностями наблюдений временных рядов x 1, x 2, …, xn и x 1+ τ , x 2+ τ ,…, xn + τ будет зависеть только от величины «сдвига по времени» (лага) τ и не будет зависеть от момента t. Как известно, степень тесноты статистической связи между двумя случайными величинами может быть измерена парным коэффициентом корреляции. Так как для стационарного временного ряда M (x (t))= M (x (t + τ))= a, D(x(t))=D(x(t+τ))= 
, то этот коэффициент вычисляется по формуле
. (1.4)
Коэффициент 
измеряет корреляцию между членами одного и того же ряда. Поэтому его называют коэффициентом автокорреляции, а зависимость 
от временного лага τ – автокорреляционной функцией.
Статистическое оценивание коэффициента 
осуществляют с помощью выборочного коэффициента автокорреляции, определяемого формулой
. (1.5)
На практике более удобной для вычислений коэффициента 
является следующая формула:
. 
Для стационарного ряда в формуле (1.5) оценки среднего значения и дисперсии по n — τ наблюдениям заменяют оценками среднего и дисперсии всего ряда x 1, x 2,…, xn. Тогда формула значительно упрощается:
, (1.6)
где 
.
График значений r (τ) как функции от лага τ называется выборочной коррелограммой. Коррелограмма показывает насколько сильна линейная зависимость между членами ряда, разделенными (
— 1) наблюдениями 
Для стационарного временного ряда, чем больше разнесены члены ряда по времени, тем слабее взаимосвязь этих членов и, соответственно, тем меньше (по модулю) значение 
. Более того, существует некоторое пороговое значение τ0, начиная с которого все выборочные коэффициенты корреляции ρ (τ) будут равны нулю: ρ (τ)=0, 
. В то же время, для выборочной автокорреляционной функции r (τ) свойство монотонного убывания (по абсолютной величине) часто нарушается, особенно при небольшом числе наблюдений.
|
|
|
Наряду с автокорреляционной функцией при исследовании стационарных временных рядов рассматривается частная автокорреляционная функция ρ част(τ). При фиксированном значении временного лага τ частный коэффициент автокорреляции ρ част(τ) измеряет корреляцию между членами временного ряда, разделенными τ тактами времени, при устранении влияния на эту взаимозависимость всех промежуточных членов временного ряда.
Например, частная автокорреляция 1-го порядка (
) определяется следующим соотношением:
Аналогичным образом определяются выборочные частная автокорреляционная функция и частные коэффициенты автокорреляции. Например, выборочный частный коэффициент автокорреляции 1-го порядка между членами ряда x (t), x (t +2) при устранении влияния x (t +1) определяется по формуле:
r част(2)= 
. (1.7)
Пример 1.2. По данным таблицы 2 для временного ряда 
найти среднее значение, дисперсию, коэффициенты автокорреляции (
) и частный коэффициент автокорреляции порядка 1.
Таблица 2.
| год, t | ||||||||
спрос,  |
Среднее значение временного ряда находим по формуле (1.2):
.
Дисперсию вычисляем по формуле (1.3):
.
Найдем коэффициент автокорреляции 
, т.е. коэффициент корреляции между последовательностями семи пар наблюдений 
и 
:
 |
|||||||
 |
Воспользуемся формулой 
. Вычисляем необходимые суммы:
.
.
.
.
.
Тогда коэффициент автокорреляции равен
Аналогично вычисляя коэффициент автокорреляции 
по шести парам наблюдений, получаем: 
=0,842.
Для определения частного коэффициента корреляции 1-го порядка 
между членами ряда 
и 
при исключении влияния 
применим формулу (1.7):
.
Пример 1.3. В таблице 3 приведены данные об уровне среднегодовых цен на рис, в амер. долларах за метрическую тонну. С помощью пакета прикладных программ «Статистика» рассчитана коррелограмма ряда для 
Таблица 3.
| год | цена | год | цена | год | цена | год | цена |
рис.2
