X-PDF

Статья: Проблема истинности в математике

Поделиться статьей

 

Проблема

2016г.


 


ПРОБЛЕМА ИСТИНЫ ВМАТЕМАТИКЕ

         Главнаяцель познания — достижениенаучной истины.

Применительнок философии истина является не только целью познания, но и предметомисследования. Можно сказать, что понятие истины выражает сущность науки.Философы давно пытаются выработать такую теорию познания, которая позволила бырассматривать его как процесс добывания научных истин. Основные противоречия наэтом пути возникали в ходе противопоставления активности субъекта и возможностивыработки им знания, соответствующего объективному реальному миру. Но истинаимеет множество аспектов, она может быть рассмотрена с самых различных точекзрения: логической, социологической, гносеологической, наконец, богословской.

Что же такоеистина? Истоки так называемой классической философской концепции истинывосходят к эпохе античности. Например, Платон считал, что “тот, кто говорит о вещах в соответствии с тем,каковы они есть, говорит истину, тот же, кто говорит о них иначе, — лжет”.Долгое время классическая концепция истины доминировала в теории познания. В главномона исходила из положения: что утверждается мыслью, действительно имеет место.И в этом смысле понятие соответствия мыслей действительности совпадает спонятием “адекватность”. Иными словами, истина — это свойство субъекта,состоящее в согласии мышления с самим собой, с его априорными (доопытными)формами. Так, в частности, полагал И. Кант. Впоследствии под истиной сталиподразумевать свойство самих идеальных объектов, безотносительных кчеловеческому познанию, и особый вид духовных ценностей. Августин развивалучение о врожденности истинных идей. Не только философы, но и представителичастных наук сталкиваются с вопросом, что понимать под действительностью, каквоспринимать реальность или реальный мир? Материалисты и идеалисты понятиедействительности, реальности отождествляют с понятием объективного мира, т.е. стем, что существует вне и независимо от человека и человечества. Однако и самчеловек — часть объективного мира. Поэтому, не учитывая этого обстоятельства,прояснить вопрос об истине просто невозможно.

С учетомимеющихся в философии направлений, принимая во внимание своеобразиеиндивидуальных высказываний, выражающих субъективное мнение того или иногоученого, истину можно определить как адекватное отражениеобъективной реальности познающим субъектом, в ходе которого познаваемый предметвоспроизводится так, как он существует вне и независимо от сознания.Следовательно, истина входит в объективное содержание человеческого знания. Ноколь скоро мы убедились, что процесс познания не прерывается, то возникаетвопрос и о характере истины.

Ведь если человек воспринимаетобъективный мир чувственным образом и представления о нем формирует в процессеиндивидуального познания и своей мыслительной деятельности, то естествененвопрос — каким образом он может удостовериться в соответствии его утвержденийсамому объективному миру? Таким образом, речь идет о критерии истины, выявлениекоторого составляет одну из главнейших задач философии. И в данномвопросе среди философов согласие отсутствует. Крайняя точка зрения сводится кполному отрицанию критерия истины, ибо, по мнению ее сторонников, истина либоотсутствует вообще, или же она свойственна, кратко говоря, всему и вся.

Идеалисты — сторонники рационализма — в качестве критерия истиныполагали само мышление, поскольку оно обладает способностью ясно и отчетливопредставить предмет. Такие философы, как Декарт, Лейбниц исходили изпредставления о самоочевидности первоначальных истин, постигаемых с помощьюинтеллектуальной интуиции. Их доводы опирались на возможности математикиобъективно и беспристрастно в своих формулах отображать многообразие реальногомира. Правда, при этом возникал другой вопрос: как, в свою очередь, убедиться вдостоверности их ясности и отчетливости? На помощь здесь должна была прийтилогика с ее строгостью доказательства и его неопровержимостью.

Так, И.Кант допускал только формально-логический критерий истины, всоответствии с которым познание должно согласовываться со всеобщими формальнымизаконами рассудка и разума. Но и опора на логику не избавила от трудностей впоисках критерия истины. Оказалось не так-то просто преодолеть внутреннююнепротиворечивость самого мышления, выяснилось, что порой невозможно добиться иформально-логической согласованности суждений, выработанных наукой, с исходнымиили вновь вводимыми утверждениями (конвенциализм).

Дажестремительное развитие логики, ее математизация и разделение на множествоспециальных направлений, а также попытки семантического (смыслового) исемиотического (знакового) объяснения природы истины не устранили противоречийв ее критерии.

Субъективныеидеалисты — сторонники сенсуализма— усматривали критерий истины в непосредственной очевидности самих ощущений, всогласованности научных понятий с чувственными данными. Впоследствии был введенпринцип верифицируемости, получивший свое название от понятия верификациявысказывания (проверка его истинности). В соответствии с этим принципом всякоевысказывание (научное утверждение) только тогда является осмысленным илиимеющим значение, если возможна его проверка. Главный упор при этом делаетсяименно на логическую возможность уточнения, а не на фактическую. К примеру, всилу неразвитости науки и техники мы не можем наблюдать физические процессы,идущие в центре Земли. Но посредством предположений, опирающихся на законылогики, можно выдвинуть соответствующую гипотезу. И если ее положения окажутсялогически непротиворечивы, то ее следует признать истинной. Нельзя не принятьво внимание и другие попытки выявить критерий истины с помощью логики,характерные в особенности для философского направления, именуемого логическимпозитивизмом.

Сторонникиведущей роли активности человека в познании пытались преодолетьограниченность логических методов в установлении критерия истины. Былаобоснована прагматическая концепция истины, согласно которой сущность истиныследует усматривать не в соответствии ее с реальностью, а в соответствии с такназываемым “конечным критерием”. Его же предназначение — в установленииполезности истины для практических поступков и действий человека. Важноотметить, что с точки зрения прагматизма сама по себе полезность не являетсякритерием истины, понимаемой как соответствие знаний действительности. Инымисловами, реальность внешнего мира недоступна человеку, поскольку человекнепосредственно имеет дело именно с результатами своей деятельности. Вот почемуединственное, что он способен установить — не соответствие знанийдействительности, а эффективность и практическая польза знаний. Именнопоследняя, выступая в качестве основной ценности человеческих знаний, достойнаименоваться истиной. И все же философия, преодолевая крайности и избегаяабсолютизации, приблизилась к более или менее верному пониманию критерияистины. Иначе и быть не могло: окажись человечество перед необходимостьюпоставить под сомнение не только последствия сиюминутной деятельности того илииного человека (в отдельных, и нередких, случаях весьма далеких от истины), нои отрицать собственную многовековую историю, жизнь невозможно было бывоспринимать иначе, как абсурд. Только понятие объективной истины, опирающеесяна понятие объективной реальности, позволяет успешно развивать философскуюконцепцию истины. Подчеркнем еще раз, что объективный или реальный мирсуществует не просто сам по себе, но только когда речь идет о его познании.

Относительнаяи абсолютная истины

Ограниченностьпрактических возможностей человека выступает одной из причин и ограниченностиего знаний, т.е. речь идет об относительном характере истины. Относительная истина — это знание, воспроизводящее объективный мир приближенно,неполно. Поэтому признаками или чертами относительной истины выступаютприближенность и неполнота, которые связаны между собой. Действительно, мирпредставляет собой систему взаимосвязанных элементов, любое неполное знание онем как целом всегда будет неточным, огрубленным, фрагментарным.

Вместе с темв философии используется и понятие абсолютная истина. С его помощьюхарактеризуется важная сторона развития процесса познания. Отметим, что понятиеабсолютной истины в философии разработано недостаточно (за исключениемметафизической, идеалистической ее ветви, где абсолютная истина, как правило,соотносится с представлением о Боге как исходной творящей и созидающейсиле). Понятие абсолютной истины употребляется дляхарактеристики того или иного специфического аспекта всякого истинного знания ив этом смысле оно аналогично понятиям “объективная истина” и “относительнаяистина”. Понятие “абсолютной истины” следует рассматривать внеразрывной связи с самим процессом познания. Этот же процесс представляетсобой как бы движение по ступеням, означающим переход от менее совершенныхнаучных представлений к более совершенным, однако при этом старое знание неотбрасывается, а хотя бы частично включается в систему нового знания. Вотэто-то включение, отражающее преемственность (в историческом смысле),внутреннюю и внешнюю целостность знания и представляющее истину как процесс,составляет содержание понятия абсолютной истины. Еще раз напомним, что преждевсего материальная деятельность человека оказывает воздействие на материальныймир. Но когда речь заходит о научном познании, то имеется в виду, что из всегомногообразия свойств, присущих объективному миру, выделяются лишь те, чтосоставляют исторически обусловленный предмет познания. Вот почему практика,впитавшая в себя знания, является формой непосредственного их соединения собъективными предметами и вещами. В этом и проявляется функция практики каккритерия истины.

 

 

Истина и ее критерии

Для тогочтобы доказать истинность того или иного утверждения, необходимо каким-тообразом проверить его. Средство такой проверки называется критериемистины (от греч. kriterion — мерило для оценки).

Основные концепции истины

Концепция истины

Определение истины

Критерий истины

Классическая

Истина есть соответствие мыслей и высказывании действительности

Чувственный опыт и/или ясность и отчетливость

Когерентная

Истина есть согласованность знаний

Согласованность с общей системой знаний

Прагматическая

Представленная информация была полезной?
ДА
58.6%
НЕТ
41.4%
Проголосовало: 988

Истина есть практически полезное знание

Эффективность, практика

Конвенциональная

Истина есть соглашение

Всеобщее согласие

Ученымипредложены различные критерии того, как отличить истинное от ложного:

§  Сенсуалисты опираются на данные чувств и критерием истины считают чувственныйопыт. По их мнению, реальность существования чего-либо проверяетсятолько чувствами, а не абстрактными теориями.

§  Рационалисты считают, что чувства способны вводить нас взаблуждение, и видят основы для проверки высказываний в разуме. Для них основнымкритерием истины выступают ясность и отчетливость. Идеальноймоделью истинного знания считается математика, где каждый вывод требует четкихдоказательств.

§  Дальнейшее развитие рационализм находит в концепции когерентности(от лат. cohaerentia — сцепление, связь), согласно которой критерием истиныявляется согласованность рассуждений с общей системой знаний.Например, «2х2 = 4» истинно не потому, что совпадает с реальным фактом, апотому, что находится в согласии с системой математических знаний.

§  Сторонники прагматизма (от греч. pragma — дело) считают критериемистины эффективность знаний. Истинное знание — это знаниепроверенное, которое успешно «работает» и позволяет добиться успеха ипрактической пользы в ежедневных делах.

§  В марксизме критерием истины объявляется практика (отгреч. praktikos — деятельный, активный), взятая в самом широком смысле каквсякая развивающаяся общественная деятельность человека по преобразованию себяи мира (от житейского опыта до языка, науки и т.д.). Истинным признается толькопроверенное практикой и опытом многих поколений утверждение.

§  Для сторонников конвенционализма (от лат. convcntio — соглашение)критерием истины является всеобщее согласие по поводу утверждений.Например, научной истиной считается то, с чем согласно подавляющее большинствоученых.

Некоторыекритерии (согласованность, эффективность, согласие) выходят за пределыклассического понимания истины, поэтому говорят о неклассической(соответственно когерентной, прагматической и конвенциональной) трактовкеистины. Марксистский принцип практики пытается соединить воедино прагматизм иклассическое понимание истины.

Поскольку у каждого критерияистины имеются свои недостатки, все критерии можно рассматривать и каквзаимодополняющие. В таком случае истиной однозначно можно назвать только то,что удовлетворяет всем критериям.

Имеются иальтернативные трактовки истинности. Так, в религии говорится о сверхразумной истине,основанием которой является Священное Писание. Многие современные течения(например, постмодернизм) вообще отрицают существование какой-либо объективнойистины.

Современнаянаука придерживается классической трактовки истины и считает, что истина всегда объективна (независит от желаний и настроений человека), конкретна (небывает истины «вообще», вне четких условий), процессуальна(находитсяв процессе постоянного развития). Последнее свойство раскрывается в понятияхотносительной и абсолютной истины.

 

    Понятие истины является одним из наиболее важных в философии математики. Хорошо известны три традиционных теории, раскрывающих природу истины: истинакак соответствие (корреспонденция), истина как согласованность (когеренция) иистина как полезность. У каждой из этих теорий есть разнообразные модификации.

    Согласно представлению о корреспонденции высказывание является истинным, еслионо соответствует описываемой ситуации, т.е. представляет ее такой, какой онаявляется на самом деле. Истолкование     истинности          как             соответствия мысли действительности восходит еще к Античности и обычно называетсяклассической концепцией истины. Все иные понимания истины именуютсянеклассическими.

     В соответствии с концепцией когеренции истина представляет собойсистематическое согласие выдвинутого положения с уже принятыми утверждениями.Такое согласие сильнее логической непротиворечивости: не всякое высказывание,не противоречащее ранее принятым высказываниям, может быть отнесено к истинным.Истинно только положение, являющееся необходимым элементом систематической,целостной концепции. «Целостность» обычно понимается так, что из нее нельзяудалить, без ее разрушения, ни одного элемента. Истолкование истины каккогеренции развивалось П. Дюэмом, У.В.О. Куайном, Т. Куном, Л. Лауданом и др.

    Строго говоря, при таком истолковании истины, если оно проводитсяпоследовательно, истина оказывается характеристикой, прежде всего, самой«целостности», а не ее отдельных элементов. «Целостность» приобретает при этомабсолютный характер: она не оценивается с точки зрения соответствия ее чему-тоиному, например, внешней реальности, но придает входящим в системувысказываниям ту или иную степень истинности. При этом степень истинностивысказывания зависит только от его вклада в систематическую согласованностьэлементов «целостности».

    В противопоставлении внутренней согласованности (когеренции) и соответствияопыту (корреспонденции) можно подчеркнуть слова «в конечном счете». Опытдействительно является источником научного знания. Но далеко не всегда новую, итем более абстрактную, естественнонаучную гипотезу удается непосредственносопоставить с эмпирическими данными. В этом случае ее согласие с другимиутверждениями теории, в рамках которой она выдвинута, значение гипотезы всистематизации и прояснении связей этой теории с другими, хорошо обоснованнымитеориями, вполне может играть роль вспомогательного определения истины.

    В формальных науках, математике и логике, не имеющих непосредственной связи сопытом, истина как согласование нового положения с уже принятыми утверждениямиявляется основным рабочим     инструментом.    Большинство «математических»        и«логических истин» никогда не выходит за пределы согласования их с ужепринятыми математическими и логическими  теориями и теми критериями, по которымоцениваются последние. В качестве вспомогательного используется определениеистины как полезности, как того, что приводит к успеху. 

    Особенно наглядно сложность проблемы математической истины проявляется в случаематематических идей, относительно которых вообще сложно представить способысопоставления их с реальностью даже в рамках содержательных научных теорий. 

Вкачестве характерного примера можно сослаться на две аксиомы теории множеств: аксиомувыбора (1904) и аксиому детерминированности (1964). Эти аксиомы чересчурабстрактны, чтобы сопоставить их с эмпирическими данными. Аксиомы не входят всостав более частных математических теорий, которые могли бы быть использованыв конкретных научных теориях, допускающих сопоставление с опытом. Этозаставляет предположить, что понятие истины как соответствия не применимо кданным аксиомам. Вместе с тем два других истолкования истины – истины каксогласованности и истины как полезности – могут использоваться для оценкиаксиом. При этом согласованность и полезность являются взаимно поддерживающимидруг друга свойствами рассматриваемых математических утверждений.

Обоснованныйвыбор между аксиомой выбора и аксиомой детерминированности возможен, вероятно,только путем сравнения красоты и богатства математических теорий, построенных сиспользованием данных аксиом, а также путем сравнения согласованности следствийаксиомы выбора и аксиомы детерминированности с математической интуицией ипрактикой приложения математики.  В частности, решающим аргументом в пользуаксиомы детерминированности может оказаться построение топологической теории,сравнимой по красоте и богатству следствий с созданной к настоящему временитопологией на основе аксиомы выбора.

    Истина как когеренция – наиболее частое, а иногда и единственно возможноепонимание истины как в математике, так и в абстрактных, далеких от опытаобластях математического естествознания. Согласие вновь вводимого положения ссистемой утверждений, принятых в конкретной области естественнонаучного знания,обычно определяется степенью полезности этого положения для данной области исмежных с нею отраслей знания. Согласованность и полезность оказываются, такимобразом, тесно связанными друг с другом.

Cоответствиеопыту некоторой математической теории не устанавливается непосредственно. Ономожет быть лишь результатом     сопоставления с эмпирическими данными техсодержательных научных концепций, в структуре которых используется эта теория(«ослабленный критерий истинности Куайна»). Именно поэтому в математике, несвязанной непосредственно с опытом, истина понимается чаще всего не каксоответствие реальности, а как согласованность математических идей междусобой. 

Вматематике используется, таким образом, все три разные истолкования истины,взаимно дополняющие друг друга: истина как согласованность, истина каксредство, ведущее к успеху, и истина как соответствие.

 

 

 


Поделиться статьей
Автор статьи
Анастасия
Анастасия
Задать вопрос
Эксперт
Представленная информация была полезной?
ДА
58.6%
НЕТ
41.4%
Проголосовало: 988

или напишите нам прямо сейчас:

Написать в WhatsApp Написать в Telegram

ОБРАЗЦЫ ВОПРОСОВ ДЛЯ ТУРНИРА ЧГК

Поделиться статьей

Поделиться статьей(Выдержка из Чемпионата Днепропетровской области по «Что? Где? Когда?» среди юношей (09.11.2008) Редакторы: Оксана Балазанова, Александр Чижов) [Указания ведущим:


Поделиться статьей

ЛИТЕЙНЫЕ ДЕФЕКТЫ

Поделиться статьей

Поделиться статьейЛитейные дефекты — понятие относительное. Строго говоря, де­фект отливки следует рассматривать лишь как отступление от заданных требований. Например, одни


Поделиться статьей

Введение. Псковская Судная грамота – крупнейший памятник феодального права эпохи феодальной раздробленности на Руси

Поделиться статьей

Поделиться статьей1. Псковская Судная грамота – крупнейший памятник феодального права эпохи феодальной раздробленности на Руси. Специфика периода феодальной раздробленности –


Поделиться статьей

Нравственные проблемы современной биологии

Поделиться статьей

Поделиться статьейЭтические проблемы современной науки являются чрезвычайно актуальными и значимыми. В связи с экспоненциальным ростом той силы, которая попадает в


Поделиться статьей

Семейство Первоцветные — Primulaceae

Поделиться статьей

Поделиться статьейВключает 30 родов, около 1000 видов. Распространение: горные и умеренные области Северного полушария . многие виды произрастают в горах


Поделиться статьей

Вопрос 1. Понятие цены, функции и виды. Порядок ценообразования

Поделиться статьей

Поделиться статьейЦенообразование является важнейшим рычагом экономического управления. Цена как экономическая категория отражает общественно необходимые затраты на производство и реализацию туристского


Поделиться статьей

или напишите нам прямо сейчас:

Написать в WhatsApp Написать в Telegram
Заявка
на расчет