Функция 
где х – переменная величина, a – заданное число, называется степенной функцией.
Если 
то 
– линейная функция, ее график – прямая линия (см. параграф 4.3, рис. 4.7).
Если 
то 
– квадратичная функция, ее график – парабола (см. параграф 4.3, рис. 4.8).
Если 
то 
ее график – кубическая парабола (см. параграф 4.3, рис. 4.9).
Степенная функция 
Это обратная функция для 
1. Область определения: 
2. Множество значений: 
3. Четность и нечетность: функция нечетная.
4. Периодичность функции: непериодическая.
5. Нули функции: x = 0 – единственный нуль.
6. Наибольшее и наименьшее значения функции: наибольшего и наименьшего значений функция не имеет.
7. Промежутки возрастания и убывания: функция является возрастающей на всей области определения.
8. График функции симметричен графику кубической параболы относительно прямой y = x и изображен на рис. 5.1.
 |
Рис. 5.1
Степенная функция 
1. Область определения: 
2. Множество значений: 
3. Четность и нечетность: функция четная.
4. Периодичность функции: непериодическая.
5. Нули функции: единственный нуль x = 0.
6. Наибольшее и наименьшее значения функции: принимает наименьшее значение для x = 0, оно равно 0.
7. Промежутки возрастания и убывания: функция является убывающей на промежутке 
и возрастающей на промежутке 
8. График функции (для каждого n Î N) «похож» на график квадратичной параболы 
(графики функций 
изображены на рис. 5.2).
Рис. 5.2
Степенная функция 
1. Область определения: 
2. Множество значений: 
3. Четность и нечетность: функция нечетная.
4. Периодичность функции: непериодическая.
5. Нули функции: x = 0 –единственный нуль.
6. Наибольшее и наименьшее значения: наибольшего и наименьшего значений функция не имеет при любом 
7. Промежутки возрастания и убывания: функция является возрастающей на всей области определения.
8. График функции (для каждого 
) «похож» на график кубической параболы (графики функций 
изображены на рис. 5.3).
 |
Рис. 5.3
Степенная функция 
1. Область определения: 
2. Множество значений: 
3. Четность и нечетность: функция нечетная.
4. Периодичность функции: непериодическая.
5. Нули функции: нулей не имеет.
6. Наибольшее и наименьшее значения функции: наибольшего и наименьшего значений функция не имеет при любом 
7. Промежутки возрастания и убывания: функция является убывающей в области определения.
8. Асимптоты: 
(ось Оу) – вертикальная асимптота .
(ось Ох) – горизонтальная асимптота.
9. График функции (для любого n) «похож» на график гиперболы (графики функций 
изображены на рис. 5.4).
 |
Рис. 5.4
Степенная функция 
1. Область определения: 
2. Множество значений: 
3. Четность и нечетность: функция четная.
4. Периодичность функции: непериодическая.
5. Наибольшее и наименьшее значения функции: наибольшего и наименьшего значений функция не имеет при любом 
6. Промежутки возрастания и убывания: функция является возрастающей на 
и убывающей на 
7. Асимптоты: x = 0 (ось Оу) – вертикальная асимптота .
y = 0 (ось Ох) – горизонтальная асимптота.
8. Графиками функций являются квадратичные гиперболы (рис. 5.5).
 |
Рис. 5.5
Степенная функция 
1. Область определения: 
2. Множество значений: 
3. Четность и нечетность: функция не обладает свойством четности и нечетности.
4. Периодичность функции: непериодическая.
5. Нули функции: x = 0 –единственный нуль.
6. Наибольшее и наименьшее значения функции: наименьшее значение, равное 0, функция принимает в точке x = 0 . наибольшего значения не имеет.
7. Промежутки возрастания и убывания: функция является возрастающей на всей области определения.
8. Каждая такая функция при определенном показателе является обратной для функции 
при условии 
9. График функции «похож» на график функции 
при любом n и изображен на рис. 5.6.
Рис. 5.6
Степенная функция 
1. Область определения: 
2. Множество значений: 
3. Четность и нечетность: функция нечетная.
4. Периодичность функции: непериодическая.
5. Нули функции: x = 0 – единственный нуль.
6. Наибольшее и наименьшее значения функции: наибольшего и наименьшего значений функция не имеет при любом 
7. Промежутки возрастания и убывания: функция является возрастающей на всей области определения.
8. График функции изображен на рис. 5.7.
 |
Рис. 5.7
Пример 1. Построить график функции:
1) 
2) 
Решение. 1) Для построения графика данной функции используем правила преобразования графиков:
а) строим график функции 
(он показан на рис. 5.7) .
б) график функции 
получаем из графика функции 
путем параллельного переноса его на одну единицу вправо по оси Ох и на две единицы вниз по оси Оу .
в) график исходной функции получаем из графика функции 
оставляем ту часть графика, которая находится справа от оси Оу и на оси Оу, другую – отбрасываем (на рис. 5.8 она показана пунктиром). Оставшуюся часть графика дополняем симметричной ей относительно оси Оу (рис. 5.8).
Рис. 5.8
2) Преобразуем функцию к виду 
Заметим, что 
График этой функции получаем путем следующих преобразований:
а) строим график функции 
б) график 
получаем из предыдущего симметричным отображением относительно оси Оу .
в) график функции 
получаем из предыдущего смещением на 4 единицы вправо по оси Ох .
г) график заданной функции получаем из графика функции 
параллельным переносом его на две единицы вниз по оси Оу (рис. 5.9).
 |
Рис. 5.9
