Опр. Сверткой функций f 1(t) и f 2(t) наз. интеграл от произведения этих функций 
f 1(t)* f 2(t). Перестановка функций не меняет значения свертки.
Теорема о свертке Изображение свертки двух оригиналов равно произведению их изображений, т.е. если f 1(t) =: F 1(p), f 2(t) =: F 2(p), то
f 1(t)* f 2(t) =: F 1(p) F 2(p) (14)
Доказательство. Обе части формулы преобразований Лапласа F 1(p) = 
умножим на F 2(p): F 1(p) F 2(p) = 
. По теореме запаздывания (4) 
=: f 2(t — 
) или 
= =
, где t > . 
. Тогда F 1(p) F 2(p) = 
=
=: 
,т.к. при 
> . t f 2(t — 
) = 0 по 10 свойству оригинала.
Пр.17 Найти оригинал изображения F (p) = 
.
Решение 1. Имеем произведение изображений двух функций t и eat. Поэтому оригинал равен свертке этих функций f (t) = t* eat =
= t 
— 
= J 1 — J 2,
J 1 = t 
= t 
— 
. J 2 = 
= 
=
= 
— 
= t 
— 
+ 
. Ответ f (t) = 
— 
— 
.
Решение 2. Представим изображение в виде суммы простейших дробей: F (p) =
=
+
+
, тогда Ap (p – a) + B (p – a) + Cp 2 = 1
p 2 | A + C = 0 A = — 1/ a 2
p 1 | — aA + B = 0 
B = -1/ a По формулам № 1, 2, 3 получаем оригинал
p 0 | — aB = 1 C = 1/ a 2f (t) = —
— 
+ 
