Технологическая карта «Формула суммы n-первых членов арифметической прогрессии» алгебра 9 класс9 класс

Тема урока

Место урока по теме

Сумма  n первых членов арифметической прогрессии

Первый урок в теме из  трех

Тип урока

Формы, приемы, методы

Комбинированный

Фронтальная, групповая работа; проблемная ситуация; контекстная задача.

Цель урока

Задачи урока

ввести формулу суммы членов конечной арифметической прогрессии, формировать умение применения  алгоритма для нахождения суммы членов конечной арифметической прогрессии.

Обучающие —  уметь применять полученные знаний на практике, знакомство с историческими аспектами данной темы.

Развивающие – развитие математической интуиции, логики,  кругозора,  реализация принципов связи теории и практики, формирование умения проводить доказательства, развитие познавательного и прикладного интереса, развитие логического мышления и вычислительной культуры.

Воспитательные  —  воспитание ответственного отношения к умственному труду, развитие навыков сотрудничества, развитие внимания к действиям учителя,  воспитание дисциплинированности, собранности.

Предполагаемый результат

Знать

Уметь

— Формулу суммы n первых членов арифметической прогрессии;

— Способ нахождения суммы большого количества слагаемых, являющихся членами арифметической прогрессии.

— Находить сумму n первых членов  арифметической прогрессии;

— Находить неизвестные элементы формулы суммы  n первых членов арифметической прогрессии.

Компетенции/УУД

Педагогические технологии

Оборудование

— Учебно-познавательная

— Коммуникативная

— Регулятивная

— Метод проблемного обучения

— Обучение в сотрудничестве

— Интерактивная доска

— Мультимедийное оборудование

— Карточки-задания

— Учебник «Алгебра 9» для общеобразовательных школ: С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин. – 7-е изд. – М.: Просвещение, 2022

Цель/задачи этапа

Деятельность учителя

Деятельность ученика

Компетенции/

аспекты компетенции/УУД

Оценивание/формы контроля

Результат

I этап:              Организационный  1-2 мин.

Включение учащихся в учебную деятельность на личностно значимом уровне.

Здравствуйте, ребята, садитесь. Откройте тетради, запишите, число…., классная работа.

Наш сегодняшний урок я хочу начать словами Блеза Паскаля: «Доводы, до которых человек додумывается сам, обычно убеждают его больше, нежели которые пришли в голову другим».(слайд 1)

Слушают учителя.

Приветствие.

Выполняют самооценку готовности к уроку.

Коммуникативная

Личностные: понимают  значение знаний  для человека и принимают его; имеют желание учиться.

Оценка, самооценка готовности к предстоящей учебной деятельности.

Готовность учащихся к познавательной деятельности.

Эмоциональный настрой на урок.

II этап:      Актуализация знаний. Постановка цели и задач урока.   8-10 мин.

— Создание проблемной ситуации, в результате которой учащиеся самостоятельно выдвинут цель  и сформулируют тему урока

— Готовность мышления учащихся и осознание потребности к построению нового способа действий.

1.Устная работа:

Формулирует вопросы к заданиям.

Корректирует ответы учащихся.

Кто мне скажет, что мы изучили на прошлом уроки?

Термин «прогрессия» имеет латинское происхождение и означает это слово «движение вперед», «успех»

Не будем останавливаться и мы, а пойдем вперед в направлении изучения прогрессий.

Чтобы идти вперед, чаще оглядывайтесь назад, ибо вы забудете, откуда вы вышли и куда вам нужно идти. Давайте оглянемся, что на данный момент мы знаем о прогрессиях.

На столе у каждого из вас есть лист с номерами заданий, которые сейчас будут появляться на экране. Выберите и запишите правильный ответ.

1-е задание:

-Как называется прогрессия, которую мы изучаем?

2-ое задание:

Какие из формул задают арифметическую прогрессию:

a_n = a₁+(n-1)d

a_n = a₁-nd 

a_n = a₁+(n+1)d

3-е задание (слайд ):

Назовите те числовые последовательности, которые являются арифметическими прогрессиями:

• а) 2; 4; 6;  8; . . . .

• б) 0; 1; 0,5; . . . . . .

• в) -2; 8; -2; 8; . . . .

• г) 25; 20; 15; . . . .

4-е задание

Чему  равна  разность арифметической  прогрессии: 

5-е задание

Продолжите  арифметическую прогрессию:

            28, 31,34…

6-е задание

Найдите  шестой  член арифметической прогрессии, если

Учитель: выполнив задание, обменяйтесь, пожалуйста, листочками  и оцените работу друг друга по шаблону на доске (слайд ).(Критерии оценивания у каждого на парте  см. Приложение 2).

(У каждого ученика на парте карточка с заданием и таблицей для ответа).

Добрый день, ребята. На экране у нас представлена задача. Давайте ее внимательно прочитаем и подумаем, как быстро мы ее сможем решить.

задание (слайд 5):

Вы являетесь владельцем дачного участка и решили огородить бассейн фигурной стеной, пригласив строителей, начав объяснять: в нижний ряд укладывается 19 блоков, на них укладывается 17 блоков, затем 15 и т. д. , всего 8 рядов. Как побыстрее вычислить количество блоков в фигурной стене?»

Этот способ возможен, но как быть если у нас будет задача:

Задача: Найдите сумму первых ста натуральных чисел

Этому и будет посвящен наш урок

Давайте подумаем какая тема нашего урока???

Запишем тему урока:

«Формула суммы п – первых членов арифметической прогрессии»

Вопрос: Как же можно вычислить сумму первых членов арифметической прогрессии?

Значит, какая цель нашего урока?

Правильно:

Цель урока:

 ввести формулу суммы n-первых членов арифметической прогрессии, и научиться применения  алгоритм для нахождения суммы членов конечной арифметической прогрессии.

Формула суммы членов арифметической прогрессии была доказана древнегреческим учёным Диофантом (в III веке). Мы попробуем на этом уроке тоже вывести искомую формулу и доказать её. Что бы вам было легче справиться с поставленной задачей, я расскажу вам историю о знаменитом немецком математике К. Гауссе (1777–1855), который в раннем детстве обнаружил выдающиеся способности к математике. Учитель предложил учащимся сложить все натуральные числа от 1 до 100. Маленький Гаусс решил эту задачу за одну минуту. Он сообразил, что суммы 1+100, 2+99, 3+98 и т.д. равны. Он умножил 101 на 50, т.е. результат сложения пар чисел на их количество и получил ответ. Иначе говоря, он заметил закономерность, которая присуща арифметической прогрессии.

На слайде задача в стихах:

Задача очень непроста:

Как сделать, чтобы быстро

От единицы и до ста

Сложить в уме все числа?

Пять первых связок изучи,

Найдёшь к решению ключи.

1. Выполняют задание.

Высказывают предположения и доказывают свою точку зрения.

Готовят ответы на поставленные вопросы.

Выполняют взаимопроверку.

1-е задание:

арифметическая

2-ое задание

a_n = a₁+(n-1)d

3-е задание:

Ответы учащихся:

а); г).

4-е задание:

Ответы учащихся:

d=3

5-е задание

Ответы учащихся:

28,31,34,37,40,43

6-е задание

a_{6=5+(6-1)3=20}

Предлагают вариант решений.

Составить запись 19+17+15+13+11+9+7+5=86 блоков

Предлагают варианты тем:

Формула суммы n – первых членов арифметической прогрессии

Формулируют цель и тему урока.

Мозговой штурм(выдвижение гипотез)

На слайде показан способ решения задачи:

Записывают задачу

Задача, успешно решённая маленьким Гауссом.

Сложить все натуральные числа от 1 до 100.

Решение. 1, 2, 3, 4, . . ., 96, 97, 98, 99, 100. 1 + 100 = 101, 2 + 99 = 101, 3 + 98 = 101, … 101 х 50 = 5050

Учебно-познавательная.

Коммуникативная.

Личностные: осознают свои возможности в учении; связывают свои успехи с усилием, трудолюбием.

Познавательные:

Общеучебные – выстраивают осознанное речевое высказывание в устной форме по теме,

Логические-осуществляют  поиск необходимой информации.

Коммуникативные—обмениваются мнениями, слушают друг друга, строят понятные речевые высказывания.

Оценка.

Взаимооценка.

Актуализированы знания и способы действий, необходимые и достаточные для освоения содержания новой темы.

III этап:      Открытие   нового   знания   7- 8 мин.

Формирование и развитие УУД и действий с предметным содержанием, необходимых для решения  учебно-познавательной задачи и достижения запланированных результатов

Организует ситуацию решения учебной задачи.

Используя данный прием можно найти формулу  для вычисления суммы n-первых членов арифметической прогрессии?

Замените теперь в каждом примере значения первого и n-го слагаемых и количество слагаемых символами a₁a_nn и запишите в виде алгебраического выражения.

-Какое выражение у вас получилось?

Молодцы!

Итак, мы смогли вывести формулу суммы n-первых членов арифметической прогрессии?

Теперь научимся применения  алгоритм для нахождения суммы членов конечной арифметической прогрессии

Давайте решим простую задачу, применяя формулу:

Обратите внимание на экран:

Дана арифметическая последовательность: 5, 11, 17…

Найдите сумму её семи первых членов последовательности.

Делают предположения.

Представляют результат.

Доказательство теоремы

2S_n = S_n + S_n = a₁ + a₂ + a₃ + . . . + аn – 2 + a_{n – 1} + a_n + a_n + a_{n – 1} + а_{n – 2} + . . .+ a₃ + a₂ + a₁ = a₁ + ( a₁ + d) + (a₁ + 2d) + … + (а_n – 2d) + (a_n – d) + a_n + a_n + (a_n – d) + (а_n– 2d) + … + (a₁ + d) + (a₁ + d) + a₁= (a₁ + a_n) х n, значит

Sn = ( (a₁ + a_n) х n ) / 2

Используя выведенную формулу:

Нам нужно знать:

a₁=5

d=11-5=6

a₇=a₁+(n-1)d =5+6*6=41

S₇=

Познавательные:

Общеучебные- самостоятельно выделяют и формулируют цели.

Логические-осуществляют  поиск необходимой информации.

Регулятивные:

Действуют с учетом выделенных учителем ориентиров, адекватно воспринимают оценку учителя.

Коммуникативные-обмениваются мнениями, слушают друг друга, строят понятные речевые высказывания.

 Оценка/самооценка умения применять  ранее полученные знания при решении практических задач.

Фиксация имеющихся предметных учебных знаний (умений), известных способов деятельности.

Принимают и сохраняют учебную цель и задачу.

IV этап.       Первичное  усвоение   новых    знаний   8-10 мин.

Организация усвоения учащимися нового способа действий при решении задач с комментированием.

Организовывает работу учащихся.

Итак, продолжим работу дальше.

5-е задание (слайд ):

Разделимся на три группы. У каждого из вас будет свое задание, которое вы должны выполнить и один представитель группы покажет  решение у доски.

Выполните в тетрадях задание:

1 вариант:

Найти сумму 35 первых членов арифметической прогрессии 2;4;6;8;……..

2 вариант:

Найти сумму первых 15 первых членов арифметической последовательности, если а₁=11, а₁₅=27

3 вариант:

Найти сумму первых 60 первых членов арифметической последовательности, если

1)      a₁ = 3₆₀ = 57

Вопросы к учащимся:

Вопрос:

—Какие элементы вам необходимо знать, чтобы вычислить каждую сумму?

Замените теперь в каждом примере значения первого и n-го слагаемых и количество слагаемых символами a₁a_nn и запишите в виде алгебраического выражения.

-Какое выражение у вас получилось?

Молодцы!

Познавательные:

Логические- осуществляют  поиск необходимой информации.

Регулятивные:

Действуют с учетом выделенных учителем ориентиров, адекватно воспринимают оценку учителя.

Личностные: понимают значение знаний для человека.

Оценка/самооценка умения применять  ранее полученные знания при решении практических задач.

Развитие учебно-познавательной мотивации.

Способность анализировать и действовать с позиции содержания предмета. Составляют критерии оценивания.

V  этап.  Включение  в систему знаний.    7-8 мин.

Организация самостоятельного выполнения учащимися заданий на новый способ действий.

Организация самопроверки учащимися своих решений по эталону; создание ситуации успеха для каждого ученика.

Много задач на нахождение сумму n-первых членов арифметической последовательности имеют прикладной характер. Перед вами задача

1) Сколько бревен находится в одной кладке, если в её основании 16 брёвен? 

Необходимо вспомнить самый удобный способ хранения предметов цилиндрической формы. (136 брёвен, ((16 + 1)/2) х 16 = 136)

Предлагаю выполнить тест на закрепления пройденного материала.

1.Найдите сумму первых пятнадцати членов арифметической прогрессии  an, если a₁a₁₅=44

1) 365   2) 345     3) 265

2.При хранении бревен их укладывают, как показано на рисунке. Сколько бревен находится в одной кладке, если в ее основании положено 12 бревен?

1) 78   2) 97    3) 68

Учащимся предложить задания на бумажном носителе.

Готовят ответы на поставленные вопросы.

Выполняют работу.

Проводят самопроверку, взаимопроверку.

Сдают оценки учителю.

Ответы:

1.      2)

2.      1)

Познавательные:

Логические- осуществляют  поиск необходимой информации.

Регулятивные:

Ориентируются в учебнике.

Действуют с учетом выделенных учителем ориентиров, адекватно воспринимают оценку учителя.

Личностные: понимают значение знаний для человека.

Оценка.

Взаимооценка.

Развитие учебно-познавательной мотивации.

Способность анализировать и действовать с позиции содержания предмета.

VI  этап.     Рефлексия учебной деятельности (итог урока).      1-2 мин.

Формирование самоконтроля и самооценки собственной деятельности. 

Развитие рефлексивных умений

Проводит беседу по вопросам:

— Какую цель мы ставили на сегодняшний урок?

— Достигли мы поставленной цели?

— Оцените результат своей деятельности, подсчитав набранные баллы  (лист достижений учащихся).

ЛИСТ ДОСТИЖЕНИЯ УЧАЩИХСЯ

Ф.И.__________________  

Число ________________

— Оцените свою деятельность по шкале перевода набранных баллов в 5-ти балльную систему.

— Закончите предложения: (Приложение № 3).

1.На уроке я работал                            активно / пассивно

2.Своей работой на уроке я                 доволен / не доволен

3.Урок для меня показался                 коротким / длинным

4.За урок я                                                устал / не устал

5.Мое настроение                                   стало лучше / стало хуже

6.Материал урока мне                            понятен / не понятен                  

                                                                    полезен / бесполезен

                                                                    интересен / скучен

Комментирует домашнее задание.

Домашнее задание

(Карточка каждому ученику )

Улитка ползет по дереву. За первую минуту она проползла 30 см, а за

каждую следующую минуту — на 5 см больше, чем за предыдущую. За какое время достигнет улитка вершины дерева длиной 5,25 м, если считать, что движение начато от его основания?

У кого возникли вопросы по домашнему заданию?

Спасибо за урок! До свидание, ребята.

Отвечают на вопросы.

Задают вопросы.

Оценивают достижение поставленных целей.

Сдают оценки учителю.

Заполняют лист рефлексии

Личностные: понимают значение знаний для человека

Имеют желание учиться.

Регулятивные:

Прогнозируют результаты уровня усвоения изучаемого материала

Оценка и самооценка работы учащихся  на уроке

Рефлексия способности организовывать собственную деятельность