X-PDF

Теорема Кронекера-Капелли

Поделиться статьей

Основной вопрос теории систем линейных уравнений состоит в выяснении условий совместности системы. Ответ на этот вопрос дает

Теорема 5.1 (Кронекера-Капелли). Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы системы равен рангу расширенной матрицы: Rg A = Rg A *.

Следствие. Линейная система имеет единственное решение при условии, что ранг основной и расширенной матриц равен числу ее неизвестных: Rg A = Rg A * = n.

Теорема Кронекера-Капелли утверждает существование решения, но она не дает никакого практического способа для нахождения всех решений системы. Однако при помощи теоремы Кронекера-Капелли можно исследовать систему, не находя ее решений. Если найден какой-либо базисный минор основной матрицы системы, то можно указать какие уравнения будут базисными, тогда остальные уравнения можно просто отбросить, т.к. они являются линейной комбинацией базисных уравнений . можно также указать какие неизвестные будут основными, а какие свободными, т.е. указать от скольких параметров зависит общее решение системы.

Пример 5.4. Исследовать систему линейных уравнений:

Решение. Найдем ранги основной и расширенной матриц системы:

Поскольку ранги основной и расширенной матриц равны, то исходная система совместна. Выберем какой-либо базисный минор. Пусть это будет минор, составленный из элементов 1-й и 2-й строки и 1-го и 2-го столбца. Тогда первые два уравнения будут базисными, а третье уравнение можно отбросить. Неизвестные x 1 и x 2, в соответствии с выбранным базисным минором, будут основными, а все остальные – свободными, которые мы перенесем в правую часть. В результате получаем следующую эквивалентную систему линейных уравнений:

Решая эту систему уравнений, получим

Эти равенства определяют общее решение системы, придавая свободным неизвестным произвольные числовые значения, можно получить все значения исходной системы. Это решение можно записать в более компактной форме. Пусть x 3=4 a, x 4=4 b, x 5= c. Тогда получим

à

Пример 5.5. Исследовать на совместность и найти общее решение системы в зависимости от значений параметра l:

Представленная информация была полезной?
ДА
58.97%
НЕТ
41.03%
Проголосовало: 78

Решение. Выпишем основную матрицу системы и найдем ее определитель

Если det A ¹0, т.е. если l¹0 и l¹–3, то ранги основной и расширенной матриц равны 3 (почему?). В этом случае система будет иметь единственное решение, которое можно найти, например, при помощи правила Крамера:

Если detA=0, то система будет либо несовместной, либо неопределенной.

Пусть l=0, тогда расширенная матрица системы будет иметь вид

Видно, что ранги расширенной и основной матриц равны 1. В этом случае нужно оставить только одно уравнение

x + y + z = 1.

Тогда общее решение будет иметь вид

Пусть l=–3, тогда

Видно, что ранг основной матрицы Rg A =2, а ранг расширенной матрицы Rg A *=3, следовательно, исходная система при l=–3 несовместна. à


Поделиться статьей
Автор статьи
Анастасия
Анастасия
Задать вопрос
Эксперт
Представленная информация была полезной?
ДА
58.97%
НЕТ
41.03%
Проголосовало: 78

или напишите нам прямо сейчас:

Написать в WhatsApp Написать в Telegram

Патогенез лихорадки: стадии лихорадки и их механизмы, типы лихорадочных кривых. Понятие о пирогенотерапии

Поделиться статьей

Поделиться статьейЦепь патогенеза лихорадки: 1) внедрение экзогенных пирогенов в организм, 2) взаимодействие экзопирогенов с фагоцитами организма, 3) активация фагоцитов, 4)


Поделиться статьей

Вирусы и эволюция

Поделиться статьей

Поделиться статьейУ вирусов есть своя, очень длинная эволюционная история, восходящая к истокам возникновения одноклеточных организмов. Так, некоторые вирусные системы репарации,


Поделиться статьей

Борьба за свержение ордынского ига: Куликовская битва, «стояние на р. Угре»

Поделиться статьей

Поделиться статьейКуликовская битва Во второй половине XIV века продолжалось расширение Московского княжества. Золотая Орда, напротив, слабела, истощённая междоусобицами ханов.С 1360


Поделиться статьей

THE SUPREME COURT OF THE UNITED STATES

Поделиться статьей

Поделиться статьейThe Supreme Court of the US was created by the Judiciary Act of 1789. The US Supreme Court is


Поделиться статьей

Исторический портрет Всеволода Большое Гнездо

Поделиться статьей

Поделиться статьейГоды правления:1176-1212 Из биографии § Всеволод Большое Гнездо — младший сын Юрия Долгорукого, брат Андрея Боголюбского. § Прозвище получил


Поделиться статьей

Аудит операций с материально-производственными запасами

Поделиться статьей

Поделиться статьейЦелью аудиторской проверки материально-производственных запасов (МПЗ) является формирование мнения о достоверности показателей отчетности по статьям материальных ценностей «Запасы» и


Поделиться статьей

или напишите нам прямо сейчас:

Написать в WhatsApp Написать в Telegram
Заявка
на расчет