Умножим первое уравнение Максвелла скалярно на вектор 
, а второе так же на вектор 
и из 2-го вычтем первое:
,
учитывая, что
. 
. 
имеем:
.
Величина
представляет собой удельную мощность Джоулевых потерь. Введем вектор Умова-Пойнтинга, который в дальнейшем можно интерпретировать как вектор плотности потока энергии
, тогда
,
где q – теплота, выделяемая в единице объема,
– плотность энергии электромагнитного поля.
Интегрируя по объему V и применяя теорему Остроградского-Гаусса, получим закон сохранения энергии
(2.1)
– убыль энергии электромагнитного поля в объеме V обусловлена тепловыми потерями и излучением электромагнитных волн.
Уравнение непрерывности (закон сохранения заряда)
Вычисли дивергенцию от обеих частей первого уравнения Максвелла
.
Получим
.
Так как 
, а из четвертого уравнения Максвелла 
, то получаем закон сохранения заряда в дифференциальной форме
. (2.2)
Интегрируя по объему и применяя к левой части теорему Остроградского-Гаусса, получим закон сохранения заряда в интегральной форме
|
|
|
(2.3)
– убыль заряда в некотором объеме V сопровождается движением электрических зарядов через поверхность, ограничивающую объем.
