Теорема 1 (первая теорема Больцано-Коши). Пусть функция 
определена и непрерывна на отрезке 
(
) и на концах его принимает значения разных знаков (
). Тогда найдется такая точка 
, в которой функция обращается в нуль:
 |
(1) |
Д о к а з а т е л ь с т в о. Для определенности будем считать, что
 |
(2) |
Разделим отрезок 
на два средней его точкой 
. Тогда либо в этой точке имеет место равенство (1), либо на концах одного (и только одного) из отрезков
 ,  , |
(3) |
функция будет принимать значения разных знаков, причем, в силу (2), отрицательное значение – на левом конце и положительное – на правом. Обозначив эту половину отрезка 
через 
. Таким образом, будем иметь:
 . |
(4) |
Разделим теперь пополам отрезок 
. Тогда опять-таки, либо в точке 
имеет место равенство (1), либо на концах одной из его половин функция принимает значения разных знаков. Обозначим через 
ту из этих половин, для которой
 |
(5) |
Продолжая описанный процесс деления отрезков пополам и далее, либо через конечное число шагов мы обнаружим, что в точке деления очередного отрезка функция обращается в нуль и тем самым завершим доказательство теоремы, либо получим бесконечную последовательность вложенных друг в друга отрезков 
, длины которых стремятся к нулю при 
,
|
|
|
 |
(6) |
при этом на концах каждого из этих отрезков функция принимает значения разных знаков, а именно,
 |
(7) |
По лемме о вложенных отрезках рассматриваемые отрезки имеют единственную общую точку 
, при этом
 |
(8) |
Тогда переходя в неравенствах (7) к пределу при 
, с учетом непрерывности функции на отрезке 
и, в частности, непрерывности ее в точке 
, получим
и, следовательно, 
, причем из неравенств (2) следует, что 
□
Замечание 1. Для непрерывной на некотором отрезке 
функции 
, принимающей в каких-то двух точках этого отрезка значения разных знаков, доказанная теорема очевидно доставляет метод приближенного отыскания корней уравнения 
. Этот метод часто называют методом деления отрезка пополам.
Замечание 2. Теорема 1 позволяет также установить наличие вещественного корня у всякого многочлена нечетной степени
Действительно, при достаточно больших по абсолютной величине значениях 
этот многочлен имеет знак старшего члена, т.е. члена 
. Точнее, при положительных таких 
он имеет знак, равный знаку 
, а при отрицательных таких 
он имеет обратный знак. Так как многочлен – непрерывная на всей числовой оси функция, то по теореме 1 хотя бы в одной точке 
он обращается в нуль.
Теорема 2 (вторая теорема Больцано-Коши). Пусть функция 
определена и непрерывна на отрезке 
, причем на концах этого отрезка она принимает разные значения
.
Тогда каковы бы ни было число 
, лежащее между 
и 
найдется такое 
, что
|
|
|
.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть для определенности 
. Выберем произвольное 
, 
, и рассмотрим вспомогательную функцию 
. Она, очевидно, непрерывна на отрезке 
и на его концах принимает значения разных знаков:
.
По теореме 1 существует такое 
, что 
, т.е. 
или 
□
Следствие. Если функция 
определена и непрерывна на конечном или бесконечном промежутке 
, то множество ее значений 
также есть некоторый промежуток.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть
