Одним из методов интегрирования ДУ высших порядков является метод понижения порядка. Суть метода состоит в том, что с помощью замены переменной данное ДУ сводится к уравнению, порядок которого ниже.
Рассмотрим 3 типа уравнений, допускающих понижение порядка.
1. Пусть дано уравнение y’’=f(x). Порядок можно понизить, введя новую функцию p(x), положив y’=p(x). Тогда y’’=p’(x) и получаем ДУ первого порядка: p’=f(x). Решив его, т.е. найдя функцию р=р(х), решим уравнение у’=р(х). Получим общее решение заданного уравнения y’’=f(x).
2. Пусть дано уравнение y’’=f(x .y’), не содержащее явно искомой функции у.
Обозначим у’=р, где р=р(х) – новая неизвестная функция. Тогда у’’=p’ и уравнение y’’=f(x .y’) принимает вид р’=f(x .p). Пусть р= 
— общее решениеполученного ДУ первого порядка. Заменяя функцию р на у’, получаем ДУ: y’= 
. Оно имеет вид y’’=f(x). Для отыскания у достаточно проинтегрировать последнее уравнение. Общее решение уравнения y’’=f(x .y’) будет иметь вид
у = 
.
Частным случаем уравнения y’’=f(x .y’) является уравнение y’’=f(y’), не содержащее также и независимую переменную х. Оно интегрируется тем же способом: y’=p(x), y’’=p’= 
. Получаем уравнение p’=f(p) с разделяющимися переменными.
|
|
|
3. Рассмотрим уравнение y’’=f(y .y’), которое не содержит явно
независимой переменной х.
Для понижения порядка уравнения введем новую функцию р=р(у), зависящую от переменной у, полагая y’=p. Дифференцируем это равенство по х, учитывая, что р=р(у(х)):
, т.е. 
= 
. Теперь уравнение y’’=f(y .y’) запишется в виде 
=f(y .p).
Пусть р= 
является общим решением этого ДУ первого порядка. Заменяя функцию р(у) на y’, получаем y’= 
— ДУ с разделяющимися переменными. Интегрируя его, находим общий интеграл уравнения y’’=f(y .y’):
.
Частным случаем уравнения y’’=f(y .y’) является ДУ y’’=f(y). Такое уравнение решается при помощи аналогичной подстановки: y’=p(y), y’’= 
.
Линейные дифференциальные уравнения высших порядков.
Основные понятия
Уравнения вида
,
где 
— заданные функции (от х), называется линейным дифференциальным уравнением n-го порядка.
Оно содержит искомую функцию у и все ее производные лишь в первой степени. Функции 
называются коэффициентами уравнения, а функция g(x) – его свободным членом.
Если свободный член g(x)=0, то уравнение 
называется линейным однородным уравнением, иначе – неоднородным.
Разделив уравнение 
на 
и обозначив
запишем уравнение 
в виде приведенного:
