17.02.2023 г.         9 класс.         Алгебра.        У р о к  №  68                                                                                                                                                                                                                                                                     Учитель  Закерьяева Мевиде Мамметовна

 

Темаурока:

Определения геометрической прогрессии.

 

Формируемыерезультаты:                                                                                                                     Предметные: умение пользоватьсяматематическими формулами и самостоятельно составлять формулы зависимостеймеждувеличинами                                                                 Личностные:креативность мышления, инициатива, находчивость, активностьпри решении алгебраических задач;

 Метапредметные: умение  организовывать учебное  сотрудничество  и совместную деятельность с учителем и сверстниками, умение видеть математическуюзадачу в контексте проблемной ситуации

Планируемыерезультаты:решать комбинированные задачи с применением формул n-го члена и суммы первыхn членов геометрической прогрессии

Тип урока: Урокформирования умений и навыков .

Ходурока                                                                                     

1. Организационный момент.

2 .Проверка выполнения домашнегозадания.                                                                                               

3. Притчапро шахматы.

Шахматная игра была придумана в Индии, и когдаиндийский царь Шерам познакомился с нею, он был восхищен ее остроумием иразнообразием возможных в ней положений. Узнав, что игра изобретена одним изего подданных, царь приказал его позвать, чтобы лично наградить за удачнуювыдумку.

Изобретатель — его звали Сета — явился к тронуповелителя. Это был скромно одетый ученый, получавший средства к жизни от своихучеников.

— Я желаю достойно вознаградить тебя, Сета, запрекрасную игру, которую ты придумал,— сказал царь.

Мудрец поклонился.

— Я достаточно богат, чтобы исполнить самоесмелое твое пожелание,— продолжал царь.— Назови награду, которая тебяудовлетворит, и ты получишь ее.

Сета молчал.

— Не робей,— ободрил его царь.— Выскажи своежелание. Я не пожалею ничего, чтобы исполнить его!

— Велика доброта твоя, повелитель. Но дай срокобдумать ответ. Завтра, по зрелом размышлении, я сообщу тебе мою просьбу.

Когда на другой день Сета снова явился кступеням трона, он удивил царя беспримерной скромностью своей просьбы.

— Повелитель,— сказал Сета,— прикажи выдать мнеза первую клетку шахматной доски одно пшеничное зерно.

— Простое пшеничное зерно? — изумился царь.

— Да, повелитель. За вторую клетку прикаживыдать два зерна, за третью — четыре, за четвертую — 8, за пятую— 16, за шестую— 32…

— Довольно! — с раздражением прервал его царь.—Ты получишь свои зерна за все 64 клетки доски, согласно твоему желанию: закаждую вдвое больше против предыдущей. Но знай, что просьба твоя недостойнамоей щедрости. Прося такую ничтожную награду, ты непочтительно пренебрегаешьмоей милостью. Поистине, как учитель, ты мог бы показать лучший пример уваженияк доброте своего государя. Ступай! Слуги мои вынесут тебе мешок с пшеницей.

Сета улыбнулся, покинул залу и стал дожидаться уворот дворца.
За обедом царь вспомнил об изобретателе шахмат ипослал узнать, унес ли уже безрассудный Сета свою жалкую награду.

— Повелитель,— был ответ,— приказание твое,исполняется. Придворные математики исчисляют число следуемых зерен.

Царь нахмурился — он не привык, чтобы повеленияего исполнялись так медлительно.

Вечером, отходя ко сну, царь Шерам еще разосведомился, давно ли Сета со своим мешком пшеницы покинул ограду дворца.

— Повелитель,— ответили ему,— математики твоитрудятся без устали и надеются еще до рассвета закончить подсчет.

— Почему медлят с этим делом?! — гневновоскликнул царь.— Завтра, прежде чем я проснусь, всё до последнего зерна должнобыть выдано Сете. Я дважды не приказываю!

Утром царю доложили, что старшина придворныхматематиков просит выслушать важное донесение. Царь приказал ввести его.

— Прежде чем скажешь о твоем деле,— объявилШерам.— я желаю услышать, выдана ли наконец Сете та ничтожная награда, которуюон себе назначил.

— Ради этого я и осмелился явиться перед тобой встоль ранний час,— ответил старик.— Мы добросовестно исчислили все количествозерен, которое желает получить Сета. Число это так велико…

— Как бы велико оно ни было,— надменно перебилцарь,— житницы мои не оскудеют! Награда обещана и должна быть выдана…

— Не в твоей власти, повелитель, исполнятьподобные желания. Во всех амбарах твоих нет такого числа зерен, какоепотребовал Сета. Нет его и в житницах целого царства. Не найдется такого числазерен и на всем пространстве Земли. И если желаешь непременно выдать обещаннуюнаграду, то прикажи превратить земные царства в пахотные поля, прикажи осушитьморя и океаны, прикажи растопить льды и снега, покрывающие далекие северныепустыри. Пусть все пространство их сплошь будет засеяно пшеницей. И все то, чтородится на этих полях, прикажи отдать Сете. Тогда он получит свою награду.

С изумлением внимал царь словам старца.

— Назови же мне это чудовищное число,—сказал онв раздумье.

— Восемнадцать квинтильонов четыреста сорокшесть квадрильонов семьсот сорок четыре триллиона семьдесят три миллиардасемьсот девять миллионов пятьсот пятьдесят одна тысяча шестьсот пятнадцать, оповелитель!

4. Работа над новым  материалом.

1. Для мотивации изучениягеометрической прогрессии целесообразно начать с решения задачи практическогохарактера, например по расчету банковских процентов.

З а д а ч а. Родителидевятиклассника положили на его имя в банк 10000 рублей на счет, по которомусумма вклада ежегодно возрастает на 9 %. Какая сумма будет на счету к егосовершеннолетию через три года? Через шесть лет?

Р е ш е н и е

Начальная сумма вклада составляет 10000р. Через год эта сумма возрастает на 9 % и составит 109 % от 10000 р. Обозначимb₁ сумму на счету к концу первого года, тогда b₁= 10000 · 1,09 (р.). К концу второго года уже сумма b₁увеличится на 9 % и составит b₂ = b₁ ·1,09. К концу третьего года сумма составит b₃ = b₂· 1,09. И так далее.

Рассмотрим последовательность b₁,b₂, b₃, … b₆, … b_п,в ней каждый член, начиная со второго, получен умножением предыдущего члена на1,09. Эта последовательность является примером геометрической прогрессии.

2. Определение. Геометрическойпрогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел,каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженномуна одно и то же число.

(b_п) – геометрическаяпрогрессия, если для любого n N выполняются условия b_п≠ 0 и b_{п + 1} = b_п · q,где q – некоторое число. Число q называется знаменателемгеометрической прогрессии, так как из определения следует, что  = q.

Напоминаем ученикам, что геометрическаяпрогрессия – частный вид последовательности, заданной рекуррентным способом.

3. Характер поведениягеометрической прогрессии в зависимости от значений q следует разобратьс учащимися более детально, например по такому плану:

а) Пусть q > 1,тогда члены геометрической прогрессии таковы, что их значения имеют один и тотже знак и возрастают по модулю.

П р и м е р: 1; 3; 9; 27;81; … (то есть b₁ = 1, q = 3) или

–2; –8; –32; … (то есть b₁= –2, q = 4).

б) Если 0 < q< 1, то члены геометрической прогрессии таковы, что их значения имеют один итот же знак и убывают по модулю.

П р и м е р:  (то есть b₁= 1, q = ) или

 (то есть b₁= –1, q = ).

в) Пусть q < –1,тогда члены геометрической прогрессии принимают знакочередующиеся значения,убывающие по модулю.

П р и м е р:  (то есть b₁= –8, q = ).

д) При q = 1 всечлены геометрической прогрессии одинаковы, то есть b_{1b1b1b1q = –1 все членыгеометрической прогрессии отличаются друг от друга лишь знаками, то есть: а1а1а1а1}

4. Вывод формулы п-гочлена.

 Пусть (b_п)– геометрическая прогрессия и b₁ – первый член, q –знаменатель, тогда

b₂ = b₁ · q

b₃ = b₂ · q= (b₁ · q) · q = b₁ · q²

b₄ = b₃ · q= (b₁ · q²) · q = b₁· q³

b₅ = b₄ · q= (b₁ · q³) · q = b₁· q⁴

… …

 –формула п-го члена геометрической прогрессии

5. Формированиеумений и навыков.

1. Вернемся крешению задачи с банковскими процентами. Мы имеем геометрическую прогрессию (b_п),где b₁ = 10000, q = 1,09. Сумма, накопленнаявкладчиком, через три года будет равняться четвертому члену этой прогрессии, ачерез шесть лет – седьмому.

В ы ч и с л и м:    b₄= 10000 · (1,09)³ ≈ 12950;

                                         b₇ = 10000 · (1,09)⁶ ≈ 16771.

О т в е т: на счету увкладчика через три года окажется сумма, приближенно равная 12950 р.; черезшесть лет – 16771 р.

2. Упражнения:

№ 623 (а, в), № 624 (а,в, д). Самостоятельное решение с последующейпроверкой.

№ 627 (а, б), № 628 (б,в). Решение у доски с объяснениями.

VI. Итоги урока.

В о п р о с ы   у ча щ и м с я:

– Сформулируйте определениегеометрической прогрессии.

– Сформулируйте определение знаменателягеометрической прогрессии.

– Назовите формулу п-го членагеометрической прогрессии.

Домашнее задание: № 623 (б, г), № 624 (б, г, е), № 627 (в, г), № 628 (а, г),