X-PDF

Урок по теме Первообразная

Поделиться статьей

Лекция 9. Понятие первообразной функции.  Первообразные элементарныхфункций

1. Понятие первообразной

f1xx3 2sin xf2x3x2 2cos x

f1xf2x

     Рассмотримдве функции:  . Очевидно, производная первой функции равна второй функции, т.е..

   В таком случае функция f1(x) называется первообразной функции (или первообразной для функции)  f2(x). В общем виде: первообразные обозначаются заглавными буквами, чтобы их можнобыло отличить от самой функции.

Определение:  функция  F(x)называется первообразной функции f(x), если производная функции F(x) равна функции  f(x):

Fxf x

Следует учесть, чторавенство имеет смысл на том множестве, на котором обе функции существуют.  Например:

      функция  y sin x являетсяпервообразной для функции   ycos x , т.к. sinxcosx

       функция y cos xявляетсяпервообразной для функции   ysin x , т.к. cosxsinxsinx

       функция y 2x 1 —  первообразная дляфункции  y 2

       функцияyln x-первообразная для функции y1 на множестве x0 . И т.д. x

Задачи: 

Определить, является ли функция F(x) первообразнойдля f(x):

Дано:  Fxx3 3x f x3x2 1       │ F(x) первообразная?

Решение:  Fxx3 3x 13x2 33x2 1f x                                                       Ответ:  да

 

1)  Fxx3 3x 5,  f x3x2 1Fxx4 3x2 xf x4x3 3x

                                                                                                                                       2                      1      2      1

3)  Fx2cos x sin 2xf x-2cos2x 2sin xFxln x — 2 xf x  2 —  ,   x 0   

                                                                                                                                       x                       x    x        x

2. Множество первообразных

  Теперь разберем важный момент: сколько первообразныхсуществует для заданной функции? Для этого рассмотрим функции:

F1x2sin x cos xF2x2sin x cos x F3x2sin x cos x f x2cos x sin x

 Очевидно, что F1xF2xF3x2cos x sin x f x

  Значит функцииF1(x), F2(x), F3(x)  все являютсяпервообразными для функции f(x).  И подобных функций можно составить сколькоугодно, меняя лишь числа в конце.

  В общем виде:  для любойзаданной функции f(x) существует бесконечно много первообразных.  Всеони имеют общую часть, а отличаются лишь числами.  

 

FxC

   Все первообразные функции f(x) обозначаются  , где F(x) – их общая часть,  а C – некоторая постояннаяC const.

 

3. Правила нахождения первообразных

  Операция нахождения перообразной называется интегрированием.Это операция над функцией, обратная операции дифференцирование.

   Для различных функций найдены их интегралы,существуют таблицы интегралов. Но будем разбираться, как появились известныеформулы. Начнем, как и при дифференцировании, с нахождения первообразнойпостоянной и степенной функции.

 

      Первообразная постоянной  C const. Для любого числа C первообразной будет функция y Cx , т.к.

CxC

      Первообразная степенной функции yxn .

Очевидно, что для любой заданной степенной функции еепервообразная должна быть на порядок выше,

т.к. при дифференцировании степень понижается на единицу.Поэтому, степень первообразной будет xn1.

Например, для функцииyx2 первообразнаябудет третьей степени. Проверим: x33x2— получили нужнуюфункцию, а от коэффициента «3» избавимся, разделив на него первообразную,т.е.

3  1x3  1 3x2 x2 . x

 3  3              3

Тогда общая формула: длястепенной функции yxn еепервообразная находится по правилу:

xn1

xn   n1

  Эта формула справедлива для всех степенных функций, кромефункции y x1, т.к.первообразная

x11 x0 не имеет смысла.Значит, формула справедлива для любого показателя, кроме -1. Для функции

11 0

yx

11 первообразнаяимеет другой вид.

x

Таблица первообразных элементарныхфункций

 

Функция   f x

Первообразная   FxC

1

Постоянная:                   C

Cx

Представленная информация была полезной?
ДА
61.15%
НЕТ
38.85%
Проголосовало: 1449

2

Степенная:                  xnn1

                                      xn1                       

C

n1

 

1xnn1

x

ln x C,   x0

3

Показательная:             ax

                                         ex

                                        ax                  

C ln a

ex C

4

Тригонометрические:  sin x

cos xC

 

cosx

sin x C

 

                                 1          

cos2 x

tgx C

 

                                  1           

sin2 x

ctgx C

 

Правила интегрирования

1

f x

FxС

2

f xgx

FxGxC

3

Сложная функция:  f kxb

1 FkxbC

k

 

 

 

Правила нахождения первообразной (правилаинтегрирования)

   Правил всего три. В отличие от дифференцирования нетправила нахождения первообразной от произведения функций и от частного функций.При нахождении первообразной сложной функции аргументом (внутренней функцией)является лишь линейная функция.

Правило 1.  Еслифункция умножена на коэффициент —  f x,то ее первообразная Fx

Правило 2. Первообразнаясуммы (разности) функций равна сумме (равности) их первообразных: т.е. дляфункции fxgxпервообразная:FxGx.

Правило 3.Первообразная сложной функции. Дляфункции f kxbпервообразная: Fkxb. k

 

f x3x2 2x 22cos x

Пример. Для функции  найдем одну из еепервообразных:

Fxx3 x2 2x 2sin x

Fxx3 x2 2x 2sin x3x2 2x 2 2cos x f x

Проверка:  


Поделиться статьей
Автор статьи
Анастасия
Анастасия
Задать вопрос
Эксперт
Представленная информация была полезной?
ДА
61.15%
НЕТ
38.85%
Проголосовало: 1449

или напишите нам прямо сейчас:

Написать в WhatsApp Написать в Telegram

ЯТТС-Рекомендации по написанию отчета по учебной и производственной практики-Гостинечное дело

Поделиться статьей

Поделиться статьейПоделиться статьей Автор статьи Анастасия Задать вопрос Эксперт Представленная информация была полезной? ДА 61.15% НЕТ 38.85% Проголосовало: 1449


Поделиться статьей

ЮУрГУ-вопросы

Поделиться статьей

Поделиться статьейПоделиться статьей Автор статьи Анастасия Задать вопрос Эксперт Представленная информация была полезной? ДА 61.15% НЕТ 38.85% Проголосовало: 1449


Поделиться статьей

ЮУГУ-Отчет_ПП-Машины непрерывного транспорта

Поделиться статьей

Поделиться статьейПоделиться статьей Автор статьи Анастасия Задать вопрос Эксперт Представленная информация была полезной? ДА 61.15% НЕТ 38.85% Проголосовало: 1449


Поделиться статьей

ЮУГУ- Курсовой проект по электронике

Поделиться статьей

Поделиться статьейПоделиться статьей Автор статьи Анастасия Задать вопрос Эксперт Представленная информация была полезной? ДА 61.15% НЕТ 38.85% Проголосовало: 1449


Поделиться статьей

ЮУГУ-ВКР-Обеспечение требований охраны труда на рабочем месте слесаря-ремонтника 5 разряда

Поделиться статьей

Поделиться статьейПоделиться статьей Автор статьи Анастасия Задать вопрос Эксперт Представленная информация была полезной? ДА 61.15% НЕТ 38.85% Проголосовало: 1449


Поделиться статьей

или напишите нам прямо сейчас:

Написать в WhatsApp Написать в Telegram
Заявка
на расчет