Лекция 9. Понятие первообразной функции.  Первообразные элементарныхфункций

1. Понятие первообразной

f1x x3  2sin xf2x3x2  2cos x

f1x f2x

     Рассмотримдве функции:  . Очевидно, производная первой функции равна второй функции, т.е..

   В таком случае функция f₁(x) называется первообразной функции (или первообразной для функции)  f₂(x). В общем виде: первообразные обозначаются заглавными буквами, чтобы их можнобыло отличить от самой функции.

Определение:  функция  F(x)называется первообразной функции f(x), если производная функции F(x) равна функции  f(x):

Fx f x

Следует учесть, чторавенство имеет смысл на том множестве, на котором обе функции существуют.  Например:

•      функция  y sin x являетсяпервообразной для функции   ycos x , т.к. sinx^ cosx

•       функция y cos xявляетсяпервообразной для функции   ysin x , т.к. cosx^sinxsinx

•       функция y 2x 1 —  первообразная дляфункции  y 2

•       функцияyln x-первообразная для функции y_¹ на множестве x0 . И т.д. x

Задачи: 

Определить, является ли функция F(x) первообразнойдля f(x):

Дано:  Fxx³ 3x f x3x² 1       │ F(x) первообразная?

Решение:  Fxx³ 3x 1^ 3x² 33x² 1f x                                                       Ответ:  да

 

1)  Fx x3  3x  5,  f x 3x2 1Fx x4  3x2  x,  f x 4x3  3x                                                                                                                                         2                      1      2      1 3)  Fx 2cos x  sin 2x,  f x -2cos2x  2sin xFx ln x  — 2 x,  f x  2 —  ,   x  0                                                                                                                                           x                       x    x        x

2. Множество первообразных

  Теперь разберем важный момент: сколько первообразныхсуществует для заданной функции? Для этого рассмотрим функции:

F₁x 2sin x cos xF₂x2sin x cos x F₃x2sin x cos x f x2cos x sin x

 Очевидно, что F₁^xF₂^xF₃^x2cos x sin x f x

  Значит функцииF₁(x), F₂(x), F₃(x)  все являютсяпервообразными для функции f(x).  И подобных функций можно составить сколькоугодно, меняя лишь числа в конце.

  В общем виде:  для любойзаданной функции f(x) существует бесконечно много первообразных.  Всеони имеют общую часть, а отличаются лишь числами.  

 

FxC

   Все первообразные функции f(x) обозначаются  , где F(x) – их общая часть,  а C – некоторая постояннаяC const.

 

3. Правила нахождения первообразных

  Операция нахождения перообразной называется интегрированием.Это операция над функцией, обратная операции дифференцирование.

   Для различных функций найдены их интегралы,существуют таблицы интегралов. Но будем разбираться, как появились известныеформулы. Начнем, как и при дифференцировании, с нахождения первообразнойпостоянной и степенной функции.

 

•      Первообразная постоянной  C const. Для любого числа C первообразной будет функция y Cx , т.к.

Cx^ C

•      Первообразная степенной функции yxⁿ .

Очевидно, что для любой заданной степенной функции еепервообразная должна быть на порядок выше,

т.к. при дифференцировании степень понижается на единицу.Поэтому, степень первообразной будет x^n1.

Например, для функцииyx² первообразнаябудет третьей степени. Проверим: x³^ 3x²— получили нужнуюфункцию, а от коэффициента «3» избавимся, разделив на него первообразную,т.е.

3  1x3  1 3x2  x2 .  x 

 3  3              3

Тогда общая формула: длястепенной функции yxⁿ еепервообразная находится по правилу:

xn1 xn   n1

  Эта формула справедлива для всех степенных функций, кромефункции y x^1, т.к.первообразная

^x11  ^x0 не имеет смысла.Значит, формула справедлива для любого показателя, кроме -1. Для функции

11 0

yx 

^11 первообразнаяимеет другой вид.

x

Таблица первообразных элементарныхфункций

	Функция   f x	Первообразная   Fx C
1	Постоянная:                   C	Cx Представленная информация была полезной? ДА 61.2% НЕТ 38.8% Проголосовало: 1451
2	Степенная:                  xn,  n1	xn1                        C n1
	1xn,  n1 x	ln x C,   x 0
3	Показательная:             ax                                          ex	ax                   C ln a ex C
4	Тригонометрические:  sin x	cos xC
	cosx	sin x C
	1           cos2 x	tgx C
	1            sin2 x	ctgx C
	Правила интегрирования
1	 f x	FxС
2	f x gx	Fx Gx C
3	Сложная функция:  f kxb	1 FkxbC k

 

 

 

Правила нахождения первообразной (правилаинтегрирования)

   Правил всего три. В отличие от дифференцирования нетправила нахождения первообразной от произведения функций и от частного функций.При нахождении первообразной сложной функции аргументом (внутренней функцией)является лишь линейная функция.

Правило 1.  Еслифункция умножена на коэффициент —  f x,то ее первообразная  Fx

Правило 2. Первообразнаясуммы (разности) функций равна сумме (равности) их первообразных: т.е. дляфункции fx gxпервообразная:FxGx.

Правило 3.Первообразная сложной функции. Дляфункции f kxbпервообразная: ^{Fkxb}. k

 

f x3x2 2x  2 2cos x

Пример. Для функции  найдем одну из еепервообразных:

Fx x³ x² 2x 2sin x

Fx x3  x2  2x  2sin x 3x2  2x  2  2cos x  f x

Проверка: