Теорема. Вероятность суммы двух совместных событий и равна сумме вероятностей этих событий без учета вероятности произведения этих событий: .
Если события и несовместны, то — невозможное событие. Тогда , и мы получаем формулу .
Пример 8. Определим вероятность выпадения хотя бы одной единицы при двух бросаниях кубика.
Событие — при 1-м бросании выпало число 1, событие — при 2-м бросании выпало число 1. тогда событие — «хотя бы один раз выпало число 1».
= 1/6 + 1/6 – 1/36 =11/36.
Пример 9. Вероятности своевременного выполнения задания двумя работниками фирмы соответственно равны 0,8 и 0,7. Работники получили независимо друг от друга задание.
Найти вероятности событий:
1) только один работник выполнит задание в срок .
2) хотя бы один работник выполнил задание в срок.
Решение
Введем события: — первый работник выполнил задание в срок, — второй работник выполнил задание в срок.
По условию, их вероятности . .
1) Событие – «Только один работник выполнил задание в срок», тогда . Слагаемые и несовместны, поэтому по теореме сложения вероятностей двух несовместных событий имеем
|
|
.
2) Существует несколько способов нахождения вероятности события – «Выполнил задание в срок хотя бы один работник».
Первый способ связан с применением теоремы сложения вероятностей совместных событий. Так как события и совместны, то .
Во втором способе дается полное представление о структуре события . Событие представим в виде суммы событий: .
Сумма первых двух слагаемых соответствует событию «Только один работник выполнил задание в срок», слагаемое – событию «Оба работника выполнили задание в срок». Тогда вероятность события – «Хотя бы один работник выполнил задание в срок» равна
Третий способ заключается в использовании противоположного события. Рассмотрим противоположные события: – «Хотя бы один работник выполнил задание в срок» и — «Оба работника не выполнили задание в срок», или . Сумма вероятностей противоположных событий равна единице , отсюда
.
Как видно, все три способа вычисления вероятности события дали один и тот же результат.