Закон электромагнитной индукции Фарадея, определяющий ЭДС индукции, возбуждаемую в неподвижном замкнутом проводящем контуре 
, где 
– проекция вектора 
на направление 
. Изменяющееся магнитное поле создает в любой точке пространства вихревое электрическое поле независимо от того, находится в этой точке проводник или нет. Данное равенство является одним из уравнений Максвелла: циркуляция вектора напряженности электрического поля по произвольному замкнутому контуру L равна взятой с обратным знаком скорости изменения магнитного потока сквозь поверхность, натянутую на контур.
По определению магнитный поток 
, получим 
. Считая поверхность интегрирования S, образованную неподвижным контуром L, неподвижной, операции дифференцирования и интегрирования можно поменять местами: 
(символ частной производной подчеркивает тот факт, что интеграл 
является функцией только от времени) – уравнение Максвелла.
Циркуляция вектора напряженности электростатического поля (
) вдоль любого замкнутого контура равна нулю: 
.
Сравнивая выражения 
и 
, видим, что между рассматриваемыми полями (
и 
) имеется принципиальное различие: циркуляция вектора 
в отличие от циркуляции вектора 
не равна пулю. Следовательно, электрическое поле 
возбуждаемое магнитным полем, как и само магнитное поле, является вихревым.
Следующий закон – закон полного тока, определяющий циркуляцию магнитного поля 
, 
, где I и 
– сила результирующего макротока и микротока, соответственно, сквозь поверхность, образованную замкнутым контуром L.
Максвелл обобщил закон полного тока. Согласно гипотезе Максвелла, кроме токов (макротоков в проводниках и микротоков в магнетиках), существует еще одна причина возникновения магнитного поля. Точно так же, как изменение магнитного поля приводит к появлению электрического, изменение электрического поля должно приводить к возникновению магнитного.
Максвелл рассмотрел заряжающийся конденсатор. В области подводящих проводов при протекании тока заряда конденсатора возникает магнитное поле. Поле не может оборваться в области, где расположен конденсатор, хотя там нет проводов, и между пластинами конденсатора ток не протекает. Изменяющееся при заряде конденсатора электрическое поле между обкладками конденсатора создает магнитное поле подобно некоторому гипотетическому току, названному Максвеллом током смещения. Этот ток смещения Максвелл использовал в качестве количественной характеристики магнитного действия изменяющегося электрического поля.
По теореме Гаусса поток вектора 
(электрического смещения) сквозь замкнутую поверхность S: 
, где q – алгебраическая сумма свободных электрических зарядов, охватываемых замкнутой поверхностью S. Продифференцируем это выражение по времени 
. Если поверхность S неподвижна и не деформируется, то изменение во времени потока вектора электрического смещения 
сквозь поверхность S вызывается только изменением электрического смещения с течением времени. Поэтому полную производную, стоящую в правой части уравнения, можно заменить частной производной по времени и дифференцирование внести под знак интеграла: 
. Левая часть выражения 
имеет размерность силы тока 
, тогда производная 
имеет размерность плотности тока. Поэтому Максвелл предложил назвать величину 
плотностью тока смещения: 
. Плотность тока смещения в данной точке пространства равна скорости изменения вектора электрического смещения в этой точке.
Током смещения сквозь произвольную поверхность S называется некоторый гипотетический (несуществующий) ток, сила которого численно равна потоку вектора плотности тока смещения сквозь эту поверхность: 
. Тогда в случае нестационарных полей закон полного тока примет вид: 
.
5.2 Уравнения Максвелла для электромагнитного поля
Добавив теорему Гаусса для электрического и магнитного полей, получим полную систему уравнений Максвелла, которая в интегральной форме записи имеет вид:
– Закон электромагнитной индукции Фарадея.
– Теорема Гаусса для электрического поля.
– Закон полного тока.
– Теорема Гаусса для магнитного поля.
Величины, входящие в левые части уравнений Максвелла, не являются независимыми, и между ними существует связь, которая для изотропных несегнетоэлектрических и неферромагнитных сред будет иметь вид:
,
,
, где 
и 
– соответственно электрическая и магнитная постоянные, ε и μ – соответственно диэлектрическая и магнитная проницаемости, s – удельная проводимость вещества.
Из уравнений Максвелла вытекает, что источниками электрического поля могут быть либо электрические заряды, либо изменяющиеся во времени магнитные поля, а магнитные поля могут возбуждаться либо движущимися электрическими зарядами (электрическими токами), либо переменными электрическими полями.
Если поля не изменяются с течением времени, такие поля называются стационарными полями, то уравнения Максвелла в пустом пространстве (вакууме) примут вид:
,
,
,
.
Источниками электрического поля в данном случае являются только электрические заряды Q, источниками магнитного – только токи проводимости I. В этом случае электрические и магнитные поля независимы друг от друга, что позволяет изучать отдельно постоянные электрическое и магнитное поля, как мы и поступали до сих пор.
Уравнения Максвелла – наиболее общие уравнения для электрических и магнитных полей в покоящихся средах. Уравнения Максвелла выражают основные законы электромагнетизма. Они столько же фундаментальны, как три закона движения и закон всемирного тяготения Ньютона в механике. В некотором смысле уравнения Максвелла даже более фундаментальны, так как в отличие от законов Ньютона они справедливы и в релятивистском случае.
Из уравнений Максвелла следует, что переменное магнитное поле всегда порождает электрическое поле, а переменное электрическое поле всегда порождает магнитное, то есть электрические и магнитные поля неразрывно связаны друг с другом – они образуют единое электромагнитное поле. Теория Максвелла объединила в одно два взаимодействия – электрическое и магнитное, до того рассматриваемые как отдельные, независимые взаимодействия. Важным следствием взаимопорождаемости переменных электрических и магнитных полей являются электромагнитные волны, существование которых вытекает непосредственно из уравнений Максвелла.
