Исследование функции, построение графика.
Учебно-практическое пособие
Возрастание и убывание функции.
Функция называется монотонно возрастающей в интервале хÎ(а, b), если для любых двух точек х1 и х2 этого интервала из неравенства х2 > . х1 следует неравенство
> .
, то есть если любому большему значению аргумента из этого интервала соответствует большее значение функции.
Функция называется монотонно убывающей на интервале хÎ(а, b), если для любых двух точек х1 и х2 этого интервала из неравенства х2 > . х1 следует неравенство
< .
, то есть если любому большему значению аргумента из этого интервала соответствует меньшее значение функции.
В области существования функции f(x) можно указать (в простейших случаях) конечное число интервалов возрастания и интервалов убывания функции, то есть интервалов монотонности функции.
Достаточный признак монотонности дифференцируемой функции:
если на интервале хÎ(а, b) производная сохраняет знак, то функция
сохраняет монотонность на этом интервале, а именно:
|
|
если , то
монотонно возрастает .
если , то
монотонно убывает.
Пример 1.
Определить интервалы возрастания и убывания функции
Решение.
Область определения данной функции: хÎ(0 .+¥).
Интервалы возрастания найдем из достаточного признака возрастания: > .0.
Так как где
> .0, то решаем систему неравенств:
По достаточному признаку монотонности заключаем, что – это интервал возрастания данной функции (обозначается “”).
Интервалы убывания находим аналогично из достаточного признака убывания: < .0, то есть, решая систему неравенств:
.
По достаточному признаку монотонности заключаем, что – это интервал убывания данной функции (обозначается “¯”).
Ответ: функция при
, при
.
Пример 2.
Определить интервалы монотонности функции
Решение.
Область определения функции: хÎ(-¥ .+¥).
Находим производную здесь
во всех точках, кроме
, где
.
Следовательно, согласно достаточному признаку монотонности, данная функция возрастает при всех х ¹ 0.
Далее очевидно, что для любого х1 > . 0 будет , а для любого х2 < . 0 будет
. Поэтому, согласно определению, функция
возрастает в любом интервале, включающем точку х = 0.
Ответ: при хÎ(-¥ .+¥) функция монотонно возрастает.
Пример 3.
Исследовать на возрастание и убывание функцию
Решение.
Здесь хÎ(-¥ .+¥).
Решив уравнение х4 – х2 = 0, найдем точки х1 = , х2 = 0, х3 = 1, в которых производная
.
Так как может изменять знак только при переходе через точки, в которых она обращается в нуль или терпит разрыв для непрерывности (в данном случае точки разрыва для
отсутствуют), то в каждом из интервалов (–¥ .–1), (–1 .0), (0 .1), (1 .+¥) производная сохраняет знак, поэтому в каждом из этих интервалов исследуемая функция монотонна. Чтобы выяснить, в каких из указанных интервалов функция возрастает, а в каких убывает, нужно определить знак производной в каждом из этих интервалов. Для этого достаточно просчитать знак
в какой-нибудь одной точке каждого интервала и результаты оформить в виде следующей схемы:
|
|
![]() |
Ответ: функция возрастает в интервалах (–¥ .–1) и (1 .+¥), убывает в интервале хÎ(–1 .1).
Задачи для самостоятельного решения.
Найти интервалы монотонности следующих функций:
1. ![]() |
4. ![]() |
2. ![]() |
5. ![]() |
3. ![]() |
6. ![]() |
Ответы.
1. При (–1 .1) и (1 .+¥) возрастает.
2. При – возрастает . при
и (1 .+¥) – убывает.
3. При (0 .2) – возрастает . при
и (2 .+¥) – убывает.
4. При – возрастает . при
– убывает.
5. При [0 .+¥) – возрастает.
6. При – возрастает .
и
– убывает, где
= 0, ±1, ±2,¼
