1) Кривая L задана параметрически:
, причем 
.
t1 – соответствует началу кривой, т. е. точке A, t2 – концу кривой B.
Из приложений определенных интегралов 
.
Тогда справедливо равенство:
.
Таким образом, криволинейный интеграл 1-го рода сводится к определенному интегралу.
2) Кривая L задана в декартовых координатах:
.
Тогда выберем в качестве параметра x:
, 
, 
.
Получаем равенство:
.
Замечание.
Если кривая L задана 
, тогда в качестве параметра выбирается y.
, 
.
.
3) Кривая L задана в полярных координатах:
.
Связь между декартовыми и полярными координатами: 
.
Учитывая, что 
, получаем 
.
Т. е. параметром является φ. Найдем дифференциал дуги.
.
Тогда справедливо равенство:
.
Замечание.
Кривая L на плоскости может быть замкнутой, тогда криволинейный интеграл 1-го рода обозначается следующим образом: 
.
Пример. Вычислить криволинейный интеграл 
, L – контур треугольника АВО.
L: ΔABO, A(1 .0), B(0 .1), O(0 .0).
Построим контур L.
Разобьем криволинейный интеграл на части: 
.
1. OA: y=0, 
, 
.
.
|
|
|
2. AB: x+y=1, x=1-y, 
.
.
3. BO: 
.
.
.
Применение криволинейного интеграла 1-го рода.
1. Вычисление массы кривой L с переменной плотностью.
.
2. Вычисление площади боковой поверхности цилиндрического тела.
, где z=f(x,y) – поверхность, ограничивающая цилиндрическое тело сверху, L ― кривая на плоскости xy, образованная цилиндрической поверхностью.
3. Вычисление длины дуги кривой AB.
.
Пример. Вычислить массу дуги окружности 
(ее верхней части), если плотность в каждой точке равна у.
Плотность 
.
L – верхняя часть окружности 
.
Масса находится по формуле 
.
Построим контур L:
Запишем уравнение окружности параметрически:
, 
. 
.
.
Замечание.
Если кривая L задана в пространстве, то выводы все аналогичны, как и для плоского случая.
Пример. Вычислить криволинейный интеграл 
, L – первый виток винтовой линии.
L: 
, 
, 
, т. к. берем 1 виток.
.
