Метод Гаусса является поистине универсальным в решении систем линейных алгебраических уравнений. Мы продемонстрируем применение этого метода при вычислении обратных матриц.
Практически этот наиболее простой способ вычисления обратной матрицы состоит в следующих шагах.
1. К матрице А, по отношению к которой ищется обратная матрица, приписывается справа единичная матрица Е.
2. Путем преобразований методом Гаусса над строками расширенной матрицы (А|Е) матрица А приводится к виду единичной матрицы.
3. После окончания указанного вычислительного процесса, т.е. когда на месте исходной матрицы А будет сформирована единичная матрица, на месте приписанной справа единичной матрицы Е будет находиться обратная матрица А -1. Иными словами, вместо расширенной матрицы (А|Е) в итоге получaется расширенная матрица (E | A -1).
Продемонстрируем эту последовательность действий на несложном примере.
Пример 1. Найти обратную матрицу исходной матрицы
Решение. Выполняем последовательно шаги 1 — 3:
Схема вычислений по методу Гаусса пояснена здесь теми же обозначениями, что и в п. 15.2, при этом стрелками показано, к какой строке прибавляется измененная строка. Последний этап вычислений, показанный стрелкой (3), состоит в делении последней строки расширенной матрицы на -2. Итак, обратная матрица имеет вид
Нетрудно непосредственно проверить правильность проведенных вычислений по определению обратной матрицы: АА -1 = А— 1А.
