Формулы для вычисления площадей плоских фигур с помощью двойного интеграла имеют вид:
1) 
в декартовой системе координат 
.
2) в полярной системе координат 
.
Пример 4.1. Найти площадь области D, ограниченной эллипсом 
.
Решение 1. Так как эллипс симметричен относительно начала и осей координат, то S фиг = 4 S 1, где S 1 –– четверть эллипса, лежащая в первой четверти (см. рис. 7). Для этой части эллипса x изменяется от 0 до a, y от 0 до 
.
2. 
(кв. ед.).
Последний интеграл вычислили с помощью подстановки x = a sin t, где 
.
Пример 4.2. Найти площадь части круга x 2 + y 2
2 x, содержащейся вне окружности x 2 + y 2 = 1.
Решение. Изобразим данную область на координатной плоскости (рис. 8).
Так как уравнения линий, ограничивающих область интегрирования содержат сумму (x 2 + y 2), то для вычисления интеграла выгодно перейти к полярной системе координат:
a) x 2 + y 2 = 1 → r = 1 .
б) x 2 + y 2= 2 x → r = 2cos 
.
Чтобы найти пределы изменения полярного угла 
, найдем координаты точек пересечения окружностей. Решая совместно уравнения r = 1 и r = 2cos 
, получаем 1 = 2cos 
или 
.
|
|
|
Рис. 8
Итак,
