Пример 1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у = х2 – 2 и y = x.
График функции y= х2 – 2 представляет собой параболу с точкой минимума при x = 0, y = -2 . ось абсцисс пересекается в точках 
. График функции у = х– прямая, биссектриса неотрицательной координатной четверти.
Найдем координаты точек пересечения параболы у = х2 – 2 и прямой у = х, решив систему этих уравнений:
х2 – 2 = х
х2 – х — 2 = 0
Д = 1 + 8 = 9
х = 2 . y = 2 или х = -1 . y = -1
Таким образом, фигуру, площадь которой необходимо найти, можно представить на рисунке 4.9.
Рисунок 4.9 – Фигура, ограниченная линиями у = х2 – 2 и y = x
На отрезке [-1, 2] х ≥ х2 – 2.
Воспользуемся формулой 
, полагая f1(х) = х . f2(х) = х2 – 2 . a = -1 . b = 2.
Пример 2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у = 4 — х2 и y = х2 – 2x.
График функции y = 4 — х2 представляет собой параболу с точкой максимума при x = 0, y = 4 . ось абсцисс пересекается в точках 2 и -2. График
функции у = х2 – 2x – парабола с точкой минимума при 2x — 2 = 0, х = 1 . y = -1 . ось абсцисс пересекается в точках 0 и 2.
Найдем координаты точек пересечения кривых:
4 — х2 = х2 – 2х
2х2 – 2х — 4 = 0
х2 – х — 2 = 0
Д = 1 + 8 = 9
х = 2 . y = 0 или х = -1 . y = 3
Таким образом, фигуру, площадь которой необходимо найти, можно предствить на рисунке 4.10.
Рисунок 4.10 — Фигура, ограниченная линиями у = 4 — х2 и y = х2 – 2x
На отрезке [-1, 2] 4 — х2 ≥ х2 – 2x.
Воспользуемся формулой 
, полагая f1(х) = 4 —
— х2 . f2(х) = х2 – 2х . a = -1 . b = 2.
Пример 3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у = 1/х .
y = х2 и y = 4 в неотрицательной координатной четверти.
График функции у = 1/х представляет собой гиперболу, при положительных х она выпукла вниз . оси координат являются асимптотами. График функции у = х2 в неотрицательной координатной четверти – ветвь параболы с точкой минимума в начале координат. Эти графики пересекаются при 1/х = х2 . х3 = 1 . х = 1 . у = 1.
Прямую y = 4 график функции у = 1/х пересекает при х =1/4, а график функции у = х2 при х = 2 (или -2).
Таким образом, фигуру, площадь которой необходимо найти, можно представить на рисунке 4.11.
Рисунок 4.11 — Фигура, ограниченная линиями у = 1/х . y = х2 и y = 4 в неотрицательной координатной четверти
Искомая площадь фигуры ABC равна разности между площадью прямоугольника АВНЕ, которая равна 4*(2 – ¼) = 7, и суммой площадей двух криволинейных трапеций АСFЕ и СВНF. Вычислим площадь АСFЕ:
Вычислим площадь СВНF:
.
Итак, искомая площадь равна 7 – (ln 4 + 7/3) = 14/3 – ln 4» 3,28 (ед.2).
