Проще всего смешанное произведение находится, когда известны координаты векторов. Для вычисления используется формула 
.
Пример.
Даны координаты трех векторов в прямоугольной системе координат 
. Найдите смешанное произведение 
.
Решение.
Мы выяснили, что смешанное произведение векторов может быть вычислено через определитель матрицы третьего порядка, строками которой являются координаты векторов, то есть,
Ответ:
.
Пример.
Найдите векторно-скалярное произведение векторов 
, где 
— орты прямоугольной декартовой системы координат.
Решение.
Данные векторы имеют следующие координаты (при необходимости смотрите статьюкоординаты вектора в прямоугольной системе координат)
Осталось воспользоваться формулой для вычисления смешанного произведения через координаты векторов
Ответ:
.
Смешанное произведение векторов также может быть вычислено, если известны длины векторов и углы между ними. Рассмотрим решение характерного примера.
Пример.
В правой прямоугольной декартовой системе координат заданы три взаимно перпендикулярных вектора 
и 
, образующих правую тройку, их длины равны соответственно 4, 2 и 3. Найдите их смешанное произведение 
.
|
|
|
Решение.
Обозначим 
.
Нам известно, что скалярное произведение векторов равно произведению их длин на косинус угла между ними, поэтому 
.
Сразу подставим значение длины вектора 
, известное из условия: 
.
У нас остались неизвестные 
и 
. Найдем их.
По условию 
, тогда по определению векторного произведения находим длину вектора 
:
Из определения векторного произведения мы можем заключить, что вектор 
перпендикулярен вектору 
и вектору 
, причем тройка векторов 
будет правой, так как векторы 
и 
заданы в правой прямоугольной декартовой системе координат. Следовательно, векторы 
и 
будут сонаправленными, то есть, 
.
Подставляем полученные результаты и получаем искомое смешанное произведение: 
.
Ответ:
