X-PDF

Вычислим комплексное сопротивление

Поделиться статьей

Z = R1 + = R1 + =

= R1 + = R1 + =

= 10 + = 19,2-j28,9.

Определяем комплексное значение тока

İ =

= 0,319 + j0,48 = e jarctg = 0,57ej56,4 .

Задача № 3

Для цепи, изображенной на рис. 2.6, используя метод кон-турных токов, рассчитайте комплексные амплитуды токов во всех ветвях, определив ее параметры по формулам

хс = 2 · N + n [ КОм], хL = + n [ КОм],

R = [ КОм], е1(t) = Ncos106t,

e2 (t) = — sin 106t, e3 (t) = cos 106t,

 
 

где N – номер фамилии студента по журналу или две последние цифры номера зачетной книжки, n – номер элемента в схеме.

.

Рис. 2.6

Основные положения и соотношения

Для определения токов и напряжений в электрической цепи по методу контурных токов используется второй закон Кирхгофа. На его основе составляется система уравнений для независимых контуров схемы. Из решения системы определяются контурные токи и на основании их вычисляются токи во всех ветвях электрической цепи.

Пример № 1

 
 

Используя метод контурных токов, определить токи в ветвях схемы

 
 

Рис. 2.7

Ė1= 10 В, Ė2 = 20 В, L1 = 10 мГн, C1= C2 =100 мкФ,

ω =10 рад/сек, R1= 50 Ом, R2= 5 Ом, R3=10 Ом.

Решение

Представим ветви в схеме рис. 2.7 в виде комплексных сопротивлений Z1, Z2, Z3.

 
 

Рис. 2.8

Определим значения комплексных сопротивлений Z1,.Z2, Z3.

Z1 = R1 + jωL1 = 50 + j103 ∙ 10 ∙ 10-5 = 60 + j10,

Z2 = R2 + ,

Z3 = R3 + .

Составим систему уравнений по методу контурных токов, приняв за контурные токи: İ1 в контуре Ė1, Z1, Z2 и İ2 в контуре Е2, Z2, Z3 (рис. 2.9).

Рис. 2.9

 
 

İ1 (Z1 + Z2) — İ2 Z2 = Ė1

İ2 (Z2 + Z3) – İ1 Z2 = Ė2.

Перепишем систему уравнений в виде

 
 

İ1(Z1 + Z2) — İ2 Z2 = Ė1

— I1 Z2 + I2 (Z2 + Z1) = Ė2.

Решим эту систему уравнений, используя метод Крамера, записав матрицу сопротивлений в виде

(Z1 + Z2 ) (-Z2 )

(-Z2) (Z2 + Z3).

Подставляя значения сопротивлений Z1, Z2, Z3 в матрицу, получим

(65) (-5 + j10)

(-5 +j10) (15 — j20).

Найдем определитель матрицы ∆

(65) (-5 + j10)

∆ = = 1050 – j1200.

(-5 +j10) (15 – j20)

Находим определители ∆ İ1 и ∆ İ2

               
     
   
 
 
 

Ė1 (-Z2 ) (10) (-5 + j10)

∆ İ1 = = =250-j400,

Ė2 (Z2 + Z3) (20) (15 – j20)

               
       
 
 

(Z1 + Z2 ) Ė1 (65) (10)

∆ İ2 = = =1350-j100,

(-Z2) Ė2 (-5 + j10) (20)

В соответствии с формулами Крамера находим контурные токи İ1 и İ2, т.е.

İ1 = = 0,292 – j0,047 A,

İ2 = = 1,258 + j0,144 A.

Ток в ветви Z2 найдем как алгебраическую сумму токов İ1 и I2, т.е.

İZ2 = İ2 — İ1 = 1,258 + j0,144 – 0,292 + j0,047 =0,966 +j0,191 А.

Таким образом получаем, что

İZ1 = İ1 = 0,292 – j0,047 A,

İZ2 = İ2 = 1,258 + j0,144 A,

IZ2 = İ2 – I1 = 0,966 + j0,191 A.

Задача № 4

Замкните накоротко все элементы в схеме рис. 2.6, кроме e1(t), L1, R1, C2, R2. Изобразите полученную схему. Выясните, какой тип контура получился. Определите напряжение на реактивных элементах при резонансе. Для полученного контура определите следующие величины:

резонансную частоту .

абсолютную, относительную и обобщенную расстройки .

Представленная информация была полезной?
ДА
58.6%
НЕТ
41.4%
Проголосовало: 988

добротность контура .

полосу пропускания контура .

характеристическое сопротивление .

сопротивление контура при резонансе.

Параметры элементов контура определить по формулам

xc = 2 ∙ N + n [KOм], xL = + n [KOм],

R = [Oм], e1(t) = Ncos 106t, где N – номер фамилии студента по журналу или две последние цифры номера зачетной книжки, n – номер элемента в схеме.

Основные положения и соотношения

Чтобы получить в реальном контуре колебания с постоянной амплитудой, необходимо включить в него источник э.д.с., который к началу каждого периода восполнял бы потери энергии, происшедшие за предыдущий период. Если источник э.д.с. соединяется последовательно с катушкой индуктивности

 
 

и конденсатором, то цепь называется контуром с последовательно включенными элементами, т.е. последовательным контуром. Этот контур представляется в виде 4-х полюсника, ко входным зажимам которого подключен источник гармонической э.д.с. Ė, а выходное напряжение снимается с конденсатора С (рис. 2.10) или с L.

 
 

Рис. 2.10

Комплексное сопротивление такой цепи равно

Z = R + jωL + 1/jωC = R + j(ωL — ) = R +jx.

При х = ω0L – 1/ω0C = 0 наступает резонанс напряжений, при этом ω0 называется собственной частотой контура.

Условием резонанса является равенство (совпадение) частоты питающего генератора ωr и собственной частоты контура (частоты свободных колебаний ω0).

Величины напряжений на индуктивности и емкости при резонансе равны и противоположны друг другу. Они могут быть определены как

= — = 0L = jE = jE = jEQ.

Векторная диаграмма при резонансе выглядит следующим образом (рис. 2.11), где Io = E/R.

Напряжение на конденсаторе и индуктивности в Q раз превышает напряжение Е, приложенное к колебательному контуру.

ŪLo

Ī0

0 Ē

ŪCo

Рис. 2.11

Поэтому резонанс в последовательном контуре называют резонансом напряжений.

При частоте генератора ωr &lt . ω0 векторная диаграмма последовательного контура приобретает вид (рис. 2.12).

Рис. 2.12

Здесь φ – угол сдвига фаз между током в контуре İ и напряжением источника Е. Сопротивление контура носит емкостной характер.

При частоте генератора ωr &gt . ω0 векторная диаграмма видоизменяется (рис. 2.13).

Рис. 2.13

В этом случае сопротивление контура носит индуктивный характер.

Входное сопротивление и проводимость последовательного контура определяются соответственно выражениями

Z = R +jx = ∙ ejarctg x / R,

= ejarctgx / R.

Величина x /R обозначается через ξ и называется обобщенной расстройкой. Она может быть отрицательной, когда ω &lt . ω0 и положительной, когда ω &gt . ω0. При резонансе ξ = 0. Безразмерная величина ξ служит мерой отличия частоты контура от частоты подведенных колебаний. Отношение величины у = и величине у0 = называется обобщенной резонансной характеристикой контура

.

Величина называется относительной рас-

стройкой. 19

 
 

В области малых расстроек контура от резонансной частоты , где Δ ω ═ ω ─ ωо.

Относительная расстройка γ связана с обобщенной расстройкой выражением

ξ ═ γ ∙ Q.

Полосу частот вблизи резонанса, на границах которой ток (проводимость) снижается до = 0,707 максимального (ре-зонансного значения) принято называть полосой пропускания. На границах полосы пропускания обобщенная расстройка ξ═1.

Так как ξ ═ γ ∙ Q = Q ∙ 2 , то получаем, что связь между резонансной частотой, добротностью и полосой пропускания определяется выражением 2 ∆ ω = .

Обобщенная резонансная кривая последовательного колебательного контура имеет вид (рис. 2.14)

 
 

Рис. 2.14

Если напряжение с последовательного контура снимается с емкости или индуктивности, то резонансные кривые при высокой добротности контура соответственно имеют вид (рис. 2.15 и 2.16).

 
 

Рис. 2.15 Рис. 2.16

Как следует из вида резонансной кривой, колебательный контур обладает большой проводимостью (малым сопротив-лением) в полосе частот, близких к резонансной и значительно меньшей проводимостью (большим сопротивлением) на час-тотах, удаленных от резонансной. Это свойство контура ши-роко используется для подавления колебаний определенной полосы частот. Последовательный контур может использоваться в качестве заграждающего (режекторного) фильтра.

При подключении контура к источнику с внутренним сопротивлением Ri добротность контура определяется выражением Qэкв = .

Как видно, внутреннее сопротивление генератора снижает добротность контура. Чтобы генератор не влиял на резонансные свойства контура, нужно, чтобы его сопротивление было значительно меньше сопротивления потерь контура R.

Пример № 1

При некоторой частоте f в последовательном контуре хс=220 Ом и хL = 170 Ом. Определить добротность контура, если известно, что сопротивление потерь контура R= 4 Ом.

Решение

Так как хс = , а хL= ωL, то можно записать, что

х с∙ х L = = ρ2.

Добротность контура определится как

Q = = = 48,5.

Пример № 2

Последовательный контур состоит из L = 100 мкГн, С = 100 пФ, R = 10 Ом. Определить резонансную частоту ωо, характеристическое сопротивление ρ, добротность Q и затухание d. Чему равны ток Iо, расходуемая в цепи мощность Pо, напряжения на индуктивности ULо и емкости UСо при резонансе, если контур включен на напряжение U = 1 В? Определить также абсолютную Δω, относительную ν и обобщенную ξ расстройки, если частота источника напряжения, действующего в контуре, стала ω = 1,002 рад/с.

ω0 = = 107 рад/с .

f0 = ≈ 1,6 ∙ 106 Гц = 1,6 МГц .

ρ = = 1000 Ом .

d = = 0,01 . Q =

I0 =

P0 = 0,12 ∙ 10 = 0,1 Вm .

UL0 = UC0 = I0 ∙ ρ = 0,1 ∙ 1000 = 100 В .

 
 

Δω = ω – ω0 = 1,002 ∙ 107 – 107 = 0,002 ∙ 107 рад/с.

ν = = 2

.


Поделиться статьей
Автор статьи
Анастасия
Анастасия
Задать вопрос
Эксперт
Представленная информация была полезной?
ДА
58.6%
НЕТ
41.4%
Проголосовало: 988

или напишите нам прямо сейчас:

Написать в WhatsApp Написать в Telegram

ОБРАЗЦЫ ВОПРОСОВ ДЛЯ ТУРНИРА ЧГК

Поделиться статьей

Поделиться статьей(Выдержка из Чемпионата Днепропетровской области по «Что? Где? Когда?» среди юношей (09.11.2008) Редакторы: Оксана Балазанова, Александр Чижов) [Указания ведущим:


Поделиться статьей

ЛИТЕЙНЫЕ ДЕФЕКТЫ

Поделиться статьей

Поделиться статьейЛитейные дефекты — понятие относительное. Строго говоря, де­фект отливки следует рассматривать лишь как отступление от заданных требований. Например, одни


Поделиться статьей

Введение. Псковская Судная грамота – крупнейший памятник феодального права эпохи феодальной раздробленности на Руси

Поделиться статьей

Поделиться статьей1. Псковская Судная грамота – крупнейший памятник феодального права эпохи феодальной раздробленности на Руси. Специфика периода феодальной раздробленности –


Поделиться статьей

Нравственные проблемы современной биологии

Поделиться статьей

Поделиться статьейЭтические проблемы современной науки являются чрезвычайно актуальными и значимыми. В связи с экспоненциальным ростом той силы, которая попадает в


Поделиться статьей

Семейство Первоцветные — Primulaceae

Поделиться статьей

Поделиться статьейВключает 30 родов, около 1000 видов. Распространение: горные и умеренные области Северного полушария . многие виды произрастают в горах


Поделиться статьей

Вопрос 1. Понятие цены, функции и виды. Порядок ценообразования

Поделиться статьей

Поделиться статьейЦенообразование является важнейшим рычагом экономического управления. Цена как экономическая категория отражает общественно необходимые затраты на производство и реализацию туристского


Поделиться статьей

или напишите нам прямо сейчас:

Написать в WhatsApp Написать в Telegram
Заявка
на расчет