Пусть в линейном пространстве V задан линейный оператор А.
Множество M (A) º { y Î V ½ у = Ax, x Î V } называется образом линейного оператора А.
Множество N (A) º { x Î V ½ Ax = 0} называется ядром линейного оператора А.
Пример. Если в трехмерном геометрическом пространстве рассмотреть оператор A проектирования векторов на плоскость xOy, то сама плоскость xOy будет образом линейного оператора, а ось Oz будет ядром этого же оператора.
3°. Образ линейного оператора А есть подпространство.
◀1) Пусть Ax 1 = y 1, Ax 2 = y 2Þ A (a x 1 + b x 2) = a y 1 + b y 2, т.е. если y 1, y 2Î M (A)Þ a y 1 + b y 2Î V.
2) y = Ax = A (x + q x) = Ax + A q x = y + q y Þ q y = q т.е. нейтральный элемент переходит в нейтральный. ▶
4°. Ядро линейного оператора А есть подпространство. ◀ ▶
Если N (A) = {q} то оператор А называется невырожденным.
5°. dim M (A) = rang A = r . dim N (A) = n – r . dim V = dim M (A) + dim N (A).
Доказать самостоятельно
Величина (n – r)т.е. размерность ядра линейного оператора называется дефектом линейного оператора.
