1. Напишите уравнения касательных, проведенных к графику функции y = 2x2 – 4x + 3 в точках пересечения графика с прямой y = x + 3.
Ответ: y = – 4x + 3, y = 6x – 9,5.
2. При каких значениях a касательная, проведенная к графику функции y = x2 – ax в точке графика с абсциссой x0 = 1, проходит через точку M(2 . 3)?
Ответ: a = 0,5.
3. При каких значениях p прямая y = px – 5 касается кривой y = 3x2 – 4x – 2?
Ответ: p1 = – 10, p2 = 2.
4. Найдите все общие точки графика функции y = 3x – x3 и касательной, проведенной к этому графику через точку P(0 . 16).
Ответ: A(2 . – 2), B(– 4 . 52).
5. Найдите кратчайшее расстояние между параболой y = x2 + 6x + 10 и прямой 
Ответ: 
6. На кривой y = x2 – x + 1 найдите точку, в которой касательная к графику параллельна прямой y – 3x + 1 = 0.
Ответ: M(2 . 3).
7. Напишите уравнение касательной к графику функции y = x2 + 2x – | 4x |, которая касается его в двух точках. Сделайте чертеж.
Ответ: y = 2x – 4.
8. Докажите, что прямая y = 2x – 1 не пересекает кривую y = x4 + 3x2 + 2x. Найдите расстояние между их ближайшими точками.
Ответ: 
9. На параболе y = x2 взяты две точки с абсциссами x1 = 1, x2 = 3. Через эти точки проведена секущая. В какой точке параболы касательная к ней будет параллельна проведенной секущей? Напишите уравнения секущей и касательной.
Ответ: y = 4x – 3 – уравнение секущей . y = 4x – 4 – уравнение касательной.
10. Найдите угол q между касательными к графику функции y = x3 – 4x2 + 3x + 1, проведенными в точках с абсциссами 0 и 1.
Ответ: q = 45°.
11. В каких точках касательная к графику функции 
образует с осью Ox угол в 135°?
Ответ: A(0 . – 1), B(4 . 3).
12. В точке A(1 . 8) к кривой 
проведена касательная. Найдите длину отрезка касательной, заключенного между осями координат.
Ответ: 
13. Напишите уравнение всех общих касательных к графикам функций y = x2 – x + 1 и y = 2x2 – x + 0,5.
Ответ: y = – 3x и y = x.
14. Найдите расстояние между касательными к графику функции 
параллельными оси абсцисс.
Ответ: 
15. Определите, под какими углами парабола y = x2 + 2x – 8 пересекает ось абсцисс.
Ответ: q1 = arctg 6, q2 = arctg (– 6).
16. На графике функции 
найдите все точки, касательная в каждой из которых к этому графику пересекает положительные полуоси координат, отсекая от них равные отрезки.
Ответ: A(– 3 . 11).
17. Прямая y = 2x + 7 и парабола y = x2 – 1 пересекаются в точках M и N. Найдите точку K пересечения прямых, касающихся параболы в точках M и N.
Ответ: K(1 . – 9).
18. При каких значениях b прямая y = 9x + b является касательной к графику функции y = x3 – 3x + 15?
Ответ: – 1 . 31.
19. При каких значениях k прямая y = kx – 10 имеет только одну общую точку с графиком функции y = 2x2 + 3x – 2? Для найденных значений k определите координаты точки.
Ответ: k1 = – 5, A(– 2 . 0) . k2 = 11, B(2 . 12).
20. При каких значениях b касательная, проведенная к графику функции y = bx3 – 2x2 – 4 в точке с абсциссой x0 = 2, проходит через точку M(1 . 8)?
Ответ: b = – 3.
21. Парабола с вершиной на оси Ox касается прямой, проходящей через точки A(1 . 2) и B(2 . 4), в точке B. Найдите уравнение параболы.
Ответ: 
22. При каком значении коэффициента k парабола y = x2 + kx + 1 касается оси Ox?
Ответ: k = д 2.
23. Найдите углы между прямой y = x + 2 и кривой y = 2x2 + 4x – 3.
Ответ: 
24. Определите, под какими углами пересекаются графики функций y = 2x2 + 3x – 3 и y = x2 + 2x + 3.
Ответ: 
25. При каком значении k угол между кривыми y = x2 + 2x + k и y = x2 + 4x + 4 будет равен 45°?
Ответ: k = – 3.
26. Найдите все значения x0, при каждом из которых касательные к графикам функции y = 5cos 3x + 2 и y = 3cos 5x в точках в абсциссой x0 параллельны.
Ответ: 
27. Под каким углом видна окружность x2 + y2 = 16 из точки (8 . 0)?
Ответ: 
28. Найдите геометрическое место точек, из которых парабола y = x2 видна под прямым углом?
Ответ: прямая 
29. Найдите расстояние между касательными к графику функции 
образующими с положительным направлением оси Ox угол 45°.
Ответ: 
30. Найдите геометрическое место вершин всех парабол вида y = x2 + ax + b, касающихся прямой y = 4x – 1.
Ответ: прямая y = 4x + 3.
