Для диода, работающего в режиме объемного заряда, анодный ток и анодное напряжение связаны нелинейной зависимостью, которая выражается законом трех вторых.
Рассмотрим зависимость силы тока, протекающего в вакууме между электродами, от приложенной разности потенциалов. Электроды будем считать плоскими, а ось 
направим нормально поверхности электродов. Потенциал катода примем за нуль 
, а потенциал анода обозначим 
(рисунок 1П1).
Допустим, что площади пластин катода и анода достаточно велики и при расчете плотности тока вблизи линии, соединяющей центры электродов, можно пренебречь изменением величин в направлениях, перпендикулярных этой линии, считая все величины зависящими только от координаты 
.
Уравнение Пуассона для потенциала имеет вид:
, (1П1)
где 
– концентрация электронов.
Закон сохранения энергии для электронов, движущихся между 
анодом и катодом, запишется как:
, (2П1)
где 
– скорость движения электронов в точке с потенциалом 
.
Объемная плотность тока в этой точке:
. (3П1)
Все величины в правой части (3П1) являются положительными. Вычислив из уравнения (2П1) скорость 
, и подставив в уравнение (3П1), находим:
. (4П1)
С учетом уравнения (4П1) уравнение Пуассона преобразуется к виду:
, (5П1)
где 
– постоянная.
Умножая обе части уравнения (5П1) на 
, получаем:
. (6П1)
Учитывая, что:
. 
, (7П1)
уравнение (6П1) запишется в виде:
. (8П1)
Теперь можно проинтегрировать обе части полученного уравнения (8П1) по 
в пределах от 0 до того значения 
, при котором потенциал равен 
. Тогда:
, (9П1)
где учтено, что 
.
Выше было показано, что напряженность поля на катоде равняется нулю, а, следовательно, и 
. Поэтому получаем:
(10П1)
или
. (11П1)
Интегрируя обе части уравнения (11П1) в пределах от 
, 
до 
, 
получаем:
. (12П1)
Возводя обе части в квадрат и учитывая, что: 
, получаем:
(13П1)
или
, (14П1)
где 
.
Учитывая, что плотность тока есть:
, (15П1)
где 
– действующая площадь анода, получим зависимость силы тока, протекающего в вакууме между электродами, от приложенной разности потенциалов:
. (16П1)
Расчет аналогичной задачи для коаксиальных цилиндрических электродов, для концентрических сферических электродов приводит к такому же виду зависимости объемной плотности тока от разности потенциалов в степени три вторых. В случае коаксиальных сферических электродов выражение, называемое «законом 3/2» или уравнением Богуславского–Ленгмюра имеет вид:
. (17П1)
где 
– радиус анода, 
– длина катода, 
– коэффициент, зависящий от отношения радиусов анода и катода.
Теоретическое рассмотрение вопроса о зависимости анодного тока от величины анодного напряжения в вакуумном диоде было проведено при следующих допущениях:
1) начальные скорости электронов, эмитируемых катодом, настолько малы, что можно считать их равными нулю .
2) анодный ток далек от насыщения .
3) объемный заряд создает такое распределение потенциала, что непосредственно у поверхности катода напряженность электрического поля равна нулю.
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4
ИЗУЧЕНИЕ РЕЛЕКСАЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ В RC-ЦЕПИ
Цель работы: изучение зависимости тока и напряжения от времени в цепях, содержащих RC-элементы.
Приборы: универсальный лабораторный стенд, осциллограф, омметр, сменная плата, соединительные провода со штекерами.
