Билет № 1
Пусть f(x) и g(x) – два выражения с переменной х и областью определения Х, тогда высказывательная форма вида f(x)=g(x) называется уравнением с одной переменной, определенном на множестве Х. 3х=2(5х-8)+х 3х=10х-16+х
3х-10х-х=-16 -8х=-16 х=2
Значение переменной х, при котором уравнение обращается в истинное числовое равенство называется корнем уравнения или его решением.
Решить уравнение – найти множество его корней.
Два уравнения называются равносильными, если множества их корней совпадают.
Т – множество корней уравнения.
f(x)=g(x)
(1).x2 – 9=0 T1={3 .-3}
(2). (x-3)(x+3)=0 T2={3 .-3}
T1=T2
(1)=(2) (знак равносильно)
Любое тождественное преобразование левой или правой, или обеих частей уравнения приводит к уравнению, равносильному данному.
Теорема 1: Пусть уравнение f(x)=g(x) задано на множестве Х, выражение с переменной h(x) определено на том же множестве Х.
Тогда уравнения (2) f(x)+h(x)=g(x)+h(x) (знак равносильно) f(x)=g(x) (1) равносильны.
Т1 – множество корней уравнения (1)
Т2 – множество корней уравнения (2)
Надо доказать: Т1=Т2
1) х1 (принадлежит) Т1
Возьмем произвольный элемент
х1 (принадлежит) Т1 (следовательно) х1 – корень (1) уравнения (следовательно) f(x1)=g(x1) – и.ч.р.
Т.к. Т1 с Х, х1 (принадлежит) Т1, то х1 (принадлежит) Х (следовательно) h(x1) – это числовое выражение, имеющее смысл (следовательно) f(x1)+h(x1)=g(x1)+h(x1) – и.ч.р. (следовательно) х1 – корень (2) уравнения, т.е. х1 (принадлежит) Т2
Итак, ((х1 (принадлежит) Т1)=(х1 (принадлежит) Т2)) (следовательно) Т1 с Т2
2) х2 (принадлежит) Т2 (следовательно) х2 – корень (2) уравнения (следовательно) f(x2)+h(x2)=g(x2)+h(x2) – и.ч.р.
h(x2) – числовое выражение, имеющее смысл (следовательно)f(x2)+h(x2)-h(x2)=g(x2)+h(x2)-h(x2) – и.ч.р.
Выполним тождественное преобразование левой и правой частей равенства, получили и.ч.р. (следовательно) f(x2)=g(x2) – и.ч.р. (следовательно) х2 – корень (1) уравнения, т.е. х2 (принадлежит) Т1
Вывод: Итак, мы взяли
(х2 (принадлежит) Т2(следовательно) х2 (принадлежит) Т1) (следовательно) Т2 с Т1
3) Т1 с Т2}
Т2 с Т1} (следовательно) Т1=Т2 (следовательно)
(f(x)=g(x)) (равносильно) f(x)+h(x)=g(x)+h(x) – ч.т.д.
Следствия:
1. Если к обеим частям уравнения прибавить одно и то же число, то получим уравнение, равносильное данному.
2. Если какое-либо слагаемое (числовое выражение или выражение с переменной) перенести из одной части уравнения в другую, поменяв знак этого слагаемого на противоположный, то получим уравнение, равносильное данному.
Теорема 2: Пусть уравнение f(x)=g(x) определено на множестве Х и h(x)- выражение с переменной х, определенное на том же множестве и не обращающиеся в ноль ни при каких значениях х из Х.
f(x)=g(x) на Х h(x) на Х
(перевернутая А)х (принадлежит) Х, h(x) (НЕравно) 0, тогда уравнение f(x)*h(x)=g(x)*h(x) равносильно данному
(2) f(x)*h(x)=g(x)*h(x) (равносильно) f(x)=f(x) (1)
Следствие: Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получим уравнение равное данному.
2. Обучающимся начальных классов предложены задания:
1) Найдите среди следующих записей уравнения: у — 7 . 7 + 7= 14 . у — 7 = 11 . у — 7> . 12.
2) Решите уравнения х + 7 = 15 . х +7 = 11 . х • 5 = 10 . х: 7 = 3.
3) Решите с объяснением: (х + 50) • 4 = 232.
• Какова образовательная цель каждого из заданий?
• Приведите рассуждения ученика при выполнении каждого из заданий.
• Какие знания лежат в основе решения третьего задания?
• Выполните 3) задание, указывая теоретические положения о равносильности уравнений.
• Раскройте методику ознакомления учащихся начальной школы с понятием «уравнение».