Для решения линейных дифференциальных уравнений будем использовать преобразование Лапласа.
Преобразованием Лапласа называют соотношение
(1)
ставящее функции x(t) вещественного переменного t в соответствие функцию X(s) комплексного переменного s (s = σ + jω). При этом x(t) называют оригиналом, X(s) — изображением или изображением по Лапласу и s — переменной преобразования Лапласа. Оригинал обозначают строчной, а его изображение — одноименной прописной буквой.
Предполагается, что функция x (t), подвергающаяся преобразованию Лапласа, обладает следующими свойствами:
1) функция x(t) определена и кусочно дифференцируема на интервале [0, ∞) .
2) x(t) ≡ 0 при t < . 0 .
3) существуют такие положительные числа с и М, что │ x(t)│ < . Mect при 0 ≤ t < . ∞.
Функцию, обладающую указанными свойствами, называют функцией-оригиналом.
Соотношение, определяющее по известному изображению его оригинал, называют обратным преобразованием Лапласа. В нем интеграл берется вдоль любой прямой Re s = σ > . с.
|
|
(2)
Условно прямое и обратное преобразования Лапласа записывают соответственно в виде
X(s) = L{x(t)}, x(t)=L-1{X(s)},
где L — оператор Лапласа, a L -1 — обратный оператор Лапласа. Основные свойства преобразования Лапласа.
1. Свойство линейности. Для любых постоянных α и β
L{αx1(t) +βx2(t)} = aL{x1(t)}+βL{x2(t)},
т. е. преобразование Лапласа от суммы функций равно сумме преобразований слагаемых и постоянные множители можно выносить за знак преобразования.
2. Дифференцирование оригинала. Если производная является функцией-оригиналом, то
где X(s) = L{x(t)}, .
Здесь запись t → +0 обозначает, что t стремится к нулю, оставаясь положительной (предел справа).
Если п-я производная х (n)(t) является функцией-оригиналом, то
L { х(n) (t)} =snX (s) – s(n -1)x (0) – s(n -2)x (0) — … — x(n -1 ) (0)
Здесь х(k) (0) = lim х(k) (t) k = 0,1,…, n — 1.
t → +0
При x (0) = x (0) =…= x (n -1)(0) = 0 последняя формула принимает вид
L { х(n) (t)} =snX (s).
Таким образом, при нулевых начальных условиях дифференцированию оригинала соответствует умножение изображения на s.
3. Интегрирование оригинала. Интегрирование оригинала сводится к делению изображения на s:
4. Теорема запаздывания. Для любого τ > . О
L{x(t — τ)} = e — τSL{x(t)} = e — τSX(s).
5. Теорема дифференцирования изображения. Изображение от произведения t на x(t) равно производной от изображения X(s), взятой с обратным знаком:
6. Теорема о смещении в комплексной плоскости. Изображение от произведения на , получаем заменой переменной s на в изображении X(s):
7. Теорема о свертке (умножении изображений). Если x1(t) и x2(t) — оригиналы, a X1(s) и X2(s)— их изображения, то
Интеграл в правой части называют сверткой функций x(t) и x2(i), его обозначают
|
|
x1(t) * х2(t):
Поэтому
8. Теоремы о предельных значениях. Если х (t) — оригинал, а Х(s) — его изображение, то
и если существует то
В таблице приведены изображения Лапласа для часто используемых функций
№ | Оригинал x(t) | Изображение X(s) |
1(t) | ||
t | ||
Пример 1. Найти изображение для
Решение:
Изображение равно
На основании теоремы 5 изображение X(s) будет равно
Пример 2. Найти изображение
Решение:
Выразим через косинус двойного угла
Изображение
На основании теоремы 6:
Пример 3. Найти изображение
Решение:
Изображение найдено в примере 1.
На основании теоремы 6: изображение получим, заменив s на в предыдущем выражении