Пусть дано уравнение
,
связывающее значения трех переменных 
, 
и 
. Рассмотрим множество тех пар чисел 
, для которых значения 
, обращающие совместно с 
, 
то уравнение в тождество.
Подставив каждой паре чисел 
из этого множества в соответствие те значения 
, для которых 
, получим однозначную или многозначную функцию двух переменных
.
Функцию 
будем называть неявно заданной уравнением 
, или просто неявной функцией двух переменных.
Найдем частные производные 
и 
неявной функции 
, определяемой уравнением 
.
Когда ищем 
, то считаем аргумент 
постоянным. Поэтому здесь применима формула (5.6), если только независимой переменной считать 
, а функцией 
. Следовательно,
. (7)
Аналогично находим производную 
:
. (8)
Обе формулы найдены в предположении, что 
.
Пример 5. Найти частные производные функции 
, заданной неявно уравнением 
.
Решение.
В данном случае 
, поэтому имеем
, 
, 
.
Следовательно, по формулам (7) и (8) находим
, 
.
В общем случае, когда уравнение
Определяет 
как некоторую функцию от 
, аналогично предыдущему найдем
|
|
|
, (9)
где 
.
