5.1. Понятие производной.
Пусть на некотором промежутке определена функция
. Возьмём любую точку
и зададим аргументу
в точке
произвольное приращение
такое, что точка
также принадлежит
. При этом функция получит приращение
.
О п р е е д е л е н и е. Производной функции в точке
называется предел при
отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента (при условии, что этот предел существует).
Для обозначения производной функции в точке
используют символы
или
.
Итак, по определению
Если функция имеет конечную производную в каждой точке
, то производную
можно рассматривать как функцию от
, также определённую на
.
Геометрический смысл производной.
Пусть функция определена на интервале
и пусть точка
на графике функции соответствует значению аргумента
, а точка
— значению аргумента
. Проведём через точки
и
прямую и назовём её секущей.. Обозначим через
угол между секущей и осью
. Очевидно, этот угол зависит от
(см. рис.) Если существует
то прямую с угловым коэффициентом
, проходящую через точку
|
|
, называют предельным положением секущей
при
.
О п р е д е л е н и е. Касательной к графику функции
в точке
называется предельное положение секущей
при
..
Таким образом, для существования касательной необходимо и достаточно существование предела .
Y
P
M
N
K L x
O
Здесь, угол
это угол
, угол
— это угол
Докажем, что если функция
имеет производную в точке
, то существует касательная в точке
, причём угловой коэффициент этой касательной (т.е. тангенс её наклона к оси
) равен значению производной
.
Действительно, из треугольника получаем,
,
Отсюда . Перейдём в этом равенстве к пределу при
. Так как существует производная
, то существует и предел
. Тогда существует и предел
.
Следовательно, существует и предел .
Но это и означает, что существует предельное положение секущей , т.е. существование касательной. Уравнение касательной к графику функции
в точке
имеет вид
.
Понятие дифференцируемости функции.
О п р е д е л е н и е. Функция называется дифференцируемой в точке
, если её приращение
в этой точке можно представить в виде:
, (1)
где — некоторое число, не зависящее от
, а
— бесконечно малая функция при
, т.е.
Для того, чтобы функция была дифференцируема в точке
, необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную. Поэтому для функции одной переменной дифференцируемость и существование производной — понятия равносильные. В формуле (1)
.
УТВЕРЖДЕНИЕ. Если функция дифференцируема в точке
, то она непрерывна в этой точке.
В самом деле, если функция дифференцируема в точке , то
, а это и означает непрерывность функции
.
|
|
Обратное утверждение неверно, т.е. из непрерывности функции не следует её дифференцируемость. Примером непрерывной, но не дифференцируемой функции может служить функция .
Понятие дифференциала.
Пусть функция дифференцируема в точке
, т.е. её приращение в этой точке можно записать в виде:
где Слагаемое
— главная часть приращения функции.
О п р е д е л е н и е. Дифференциалом функции в точке
называется главная, линейная относительно
часть приращения функции в этой точке, т.е.
(2)
Учитывая, что , формулу (2) можем записать в виде
. (3)
Если , то по формуле (3),
, т.е.
. (4)
Геометрический смысл дифференциала. Дифференциал функции в точке
равен приращению ординаты касательной в точке
, в то время как
— это приращения самой функции в точке
и
.
5.5 Правила дифференцирования.
Если функции дифференцируемы в точке
, то сумма, разность, произведение и частное этих функций (при условии, что
) также дифференцируемы в этой точке и имеют место следующие формулы:
.
Производная постоянной функции равна нулю (.
Правило дифференцирования сложной функции:
ТЕОРЕМА. Если функция имеет производную в
точке , а функция
имеет произ –
водную в соответствующей точке , то
сложная функция также имеет произ-
водную в точке и справедлива следующая
формула . (1)
Доказательство. Так как функция дифференцируема в точке
, то приращение функции в этой точке может быть записано в виде
, (2)
где . Поделив равенство (2) на
, получим
. (3)
Равенство (3) справедливо при любых достаточно малых . Возьмём
равным приращению функции
, соответствующему приращению
аргумента
в точке
, и устремим в этом равенстве
к нулю. Так как, по условию, функция
имеет производную в точке
, то она непрерывна в этой точке. Следовательно,
при
. Но тогда и
, т.е. имеем
(4)
Благодаря соотношению (4) существует предел правой части равенства (3) при , равный
.
Значит, существует и предел при левой части равенства (3), который, по определению производной, равен производной сложной функции
в точке
и теорема доказана. Равенство (1) имеет место.
Например, вычислить производную , здесь
, тогда по формуле (1), получим,
.
5.6. Таблица производных сложных функций
Пусть , дифференцируемая функция. Тогда для производных сложных функций имеют место следующие формулы:
1. .
2. .
3. $
4. .
5. .
6. .
7. .
8. :
9. .
10. .
11. .
В частности, если , то
, и получим обычную таблицу производных.
5.7 Производная неявно заданной функции.
Пусть зависимость между и
задаётся неявно функцией
, (1)
Причём, чаще всего, невозможно представление .
Тогда берут производную равенства (1), считая, что . При этом, как правило,
зависит от
и
Как выполняется дифференцирование в этом случае, лучше посмотреть на примерах.
1. Зависимость между и
задаётся формулой:
.
Вычислим производную, учитывая формулу производной сложной функции и правила дифференцирования:
Преобразуем это выражение:
Перегруппируем это равенство, оставив слева слагаемые с , а все остальные слагаемые перенесём в правую часть
Отсюда получаем выражение для :
2. Найти , или
.
.
Вычислим производную левой и правой части равенства:
Тогда
и окончательно,
.
5.8. Логарифмическое дифференцирование.
По правилу вычисления производной сложной функции, . Эта формула позволяет вычислять производные довольно сложного вида. В первую очередь к ним относятся, так называемые показательно – степенные функции вида
, где
и
— некоторые функции от
(
), имеющие производные в точке
.
Прологарифмируем эту функцию:
.
Вычислим производную: .
Отсюда, учитывая, что , получим
.
ПРИМЕР. Вычислить производную функции
Прологарифмируем это выражение:
.
Вычислим производную
,
|
|
тогда ,
или .
Учитывая свойства логарифмов (логарифм произведения равен сумме логарифмов, логарифм частного равен разности логарифмов, степень можно выносить за знак логарифма) этот же метод удобно использовать в случае, если функция задана только степенями, корнями, произведениями и дробями.
ПРИМЕР. Найти производную функции
.
Прологарифмируем эту функцию и используем свойства логарифма:
.
Тогда
.
Окончательно,
Если бы мы попытались найти производную этой функции, непосредственно используя правила дифференцирования, получить результат было бы намного сложнее.
![Анастасия](/wp-content/uploads/2023/11/expert.webp)