X-PDF

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ

Поделиться статьей

5.1. Понятие производной.

Пусть на некотором промежутке определена функция . Возьмём любую точку и зададим аргументу в точке произвольное приращение такое, что точка также принадлежит . При этом функция получит приращение .

О п р е е д е л е н и е. Производной функции в точке называется предел при отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента (при условии, что этот предел существует).

Для обозначения производной функции в точке используют символы или .

Итак, по определению

Если функция имеет конечную производную в каждой точке , то производную можно рассматривать как функцию от , также определённую на .

Геометрический смысл производной.

Пусть функция определена на интервале и пусть точка на графике функции соответствует значению аргумента , а точка — значению аргумента . Проведём через точки и прямую и назовём её секущей.. Обозначим через угол между секущей и осью . Очевидно, этот угол зависит от (см. рис.) Если существует то прямую с угловым коэффициентом , проходящую через точку

, называют предельным положением секущей при .

О п р е д е л е н и е. Касательной к графику функции в точке называется предельное положение секущей при ..

Таким образом, для существования касательной необходимо и достаточно существование предела .

Y

P

M

N

K L x

O

Здесь, угол это угол , угол — это угол

Докажем, что если функция имеет производную в точке , то существует касательная в точке , причём угловой коэффициент этой касательной (т.е. тангенс её наклона к оси ) равен значению производной .

Действительно, из треугольника получаем,

,

Отсюда . Перейдём в этом равенстве к пределу при . Так как существует производная

, то существует и предел . Тогда существует и предел

.

Следовательно, существует и предел .

Но это и означает, что существует предельное положение секущей , т.е. существование касательной. Уравнение касательной к графику функции в точке имеет вид .

Понятие дифференцируемости функции.

О п р е д е л е н и е. Функция называется дифференцируемой в точке , если её приращение в этой точке можно представить в виде:

, (1)

где — некоторое число, не зависящее от , а — бесконечно малая функция при , т.е.

Для того, чтобы функция была дифференцируема в точке , необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную. Поэтому для функции одной переменной дифференцируемость и существование производной — понятия равносильные. В формуле (1) .

УТВЕРЖДЕНИЕ. Если функция дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке.

В самом деле, если функция дифференцируема в точке , то , а это и означает непрерывность функции .

Обратное утверждение неверно, т.е. из непрерывности функции не следует её дифференцируемость. Примером непрерывной, но не дифференцируемой функции может служить функция .

Понятие дифференциала.

Пусть функция дифференцируема в точке , т.е. её приращение в этой точке можно записать в виде:

где Слагаемое — главная часть приращения функции.

О п р е д е л е н и е. Дифференциалом функции в точке называется главная, линейная относительно часть приращения функции в этой точке, т.е. (2)

Учитывая, что , формулу (2) можем записать в виде . (3)

Если , то по формуле (3), , т.е. . (4)

Геометрический смысл дифференциала. Дифференциал функции в точке равен приращению ординаты касательной в точке , в то время как — это приращения самой функции в точке и .

5.5 Правила дифференцирования.

Если функции дифференцируемы в точке , то сумма, разность, произведение и частное этих функций (при условии, что ) также дифференцируемы в этой точке и имеют место следующие формулы:

.

Производная постоянной функции равна нулю (.

Правило дифференцирования сложной функции:

ТЕОРЕМА. Если функция имеет производную в

точке , а функция имеет произ –

водную в соответствующей точке , то

сложная функция также имеет произ-

водную в точке и справедлива следующая

формула . (1)

Доказательство. Так как функция дифференцируема в точке , то приращение функции в этой точке может быть записано в виде

, (2)

где . Поделив равенство (2) на , получим

. (3)

Равенство (3) справедливо при любых достаточно малых . Возьмём равным приращению функции , соответствующему приращению аргумента в точке , и устремим в этом равенстве к нулю. Так как, по условию, функция имеет производную в точке , то она непрерывна в этой точке. Следовательно, при . Но тогда и , т.е. имеем (4)

Благодаря соотношению (4) существует предел правой части равенства (3) при , равный .

Значит, существует и предел при левой части равенства (3), который, по определению производной, равен производной сложной функции в точке и теорема доказана. Равенство (1) имеет место.

Представленная информация была полезной?
ДА
58.6%
НЕТ
41.4%
Проголосовало: 988

Например, вычислить производную , здесь

, тогда по формуле (1), получим, .

5.6. Таблица производных сложных функций

Пусть , дифференцируемая функция. Тогда для производных сложных функций имеют место следующие формулы:

1. .

2. .

3. $

4. .

5. .

6. .

7. .

8. :

9. .

10. .

11. .

В частности, если , то , и получим обычную таблицу производных.

5.7 Производная неявно заданной функции.

Пусть зависимость между и задаётся неявно функцией

, (1)

Причём, чаще всего, невозможно представление .

Тогда берут производную равенства (1), считая, что . При этом, как правило, зависит от и Как выполняется дифференцирование в этом случае, лучше посмотреть на примерах.

1. Зависимость между и задаётся формулой:

.

Вычислим производную, учитывая формулу производной сложной функции и правила дифференцирования:

Преобразуем это выражение:

Перегруппируем это равенство, оставив слева слагаемые с , а все остальные слагаемые перенесём в правую часть

Отсюда получаем выражение для :

2. Найти , или .

.

Вычислим производную левой и правой части равенства:

Тогда

и окончательно,

.

5.8. Логарифмическое дифференцирование.

По правилу вычисления производной сложной функции, . Эта формула позволяет вычислять производные довольно сложного вида. В первую очередь к ним относятся, так называемые показательно – степенные функции вида

, где и — некоторые функции от (), имеющие производные в точке .

Прологарифмируем эту функцию:

.

Вычислим производную: .
Отсюда, учитывая, что , получим

.

ПРИМЕР. Вычислить производную функции

Прологарифмируем это выражение:

.

Вычислим производную

,

тогда ,

или .

Учитывая свойства логарифмов (логарифм произведения равен сумме логарифмов, логарифм частного равен разности логарифмов, степень можно выносить за знак логарифма) этот же метод удобно использовать в случае, если функция задана только степенями, корнями, произведениями и дробями.

ПРИМЕР. Найти производную функции

.

Прологарифмируем эту функцию и используем свойства логарифма:

.

Тогда

.

Окончательно,

Если бы мы попытались найти производную этой функции, непосредственно используя правила дифференцирования, получить результат было бы намного сложнее.


Поделиться статьей
Автор статьи
Анастасия
Анастасия
Задать вопрос
Эксперт
Представленная информация была полезной?
ДА
58.6%
НЕТ
41.4%
Проголосовало: 988

или напишите нам прямо сейчас:

Написать в WhatsApp Написать в Telegram

ОБРАЗЦЫ ВОПРОСОВ ДЛЯ ТУРНИРА ЧГК

Поделиться статьей

Поделиться статьей(Выдержка из Чемпионата Днепропетровской области по «Что? Где? Когда?» среди юношей (09.11.2008) Редакторы: Оксана Балазанова, Александр Чижов) [Указания ведущим:


Поделиться статьей

ЛИТЕЙНЫЕ ДЕФЕКТЫ

Поделиться статьей

Поделиться статьейЛитейные дефекты — понятие относительное. Строго говоря, де­фект отливки следует рассматривать лишь как отступление от заданных требований. Например, одни


Поделиться статьей

Введение. Псковская Судная грамота – крупнейший памятник феодального права эпохи феодальной раздробленности на Руси

Поделиться статьей

Поделиться статьей1. Псковская Судная грамота – крупнейший памятник феодального права эпохи феодальной раздробленности на Руси. Специфика периода феодальной раздробленности –


Поделиться статьей

Нравственные проблемы современной биологии

Поделиться статьей

Поделиться статьейЭтические проблемы современной науки являются чрезвычайно актуальными и значимыми. В связи с экспоненциальным ростом той силы, которая попадает в


Поделиться статьей

Семейство Первоцветные — Primulaceae

Поделиться статьей

Поделиться статьейВключает 30 родов, около 1000 видов. Распространение: горные и умеренные области Северного полушария . многие виды произрастают в горах


Поделиться статьей

Вопрос 1. Понятие цены, функции и виды. Порядок ценообразования

Поделиться статьей

Поделиться статьейЦенообразование является важнейшим рычагом экономического управления. Цена как экономическая категория отражает общественно необходимые затраты на производство и реализацию туристского


Поделиться статьей

или напишите нам прямо сейчас:

Написать в WhatsApp Написать в Telegram
Заявка
на расчет