Дистанционные курсы для педагогов

 

 

итоговый индивидуальный проект

предмет: математика

 

 

Тема проекта:

Шахматы и математика

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Работа допущена к защите  «     »                2021г.

Подпись руководителя проекта                  (                         )

ОТМЕТКА: «     » ____________

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Верх-Каргат

2021

 

Оглавление
Введение…………………………………………………………………………………3

1. История возникновения шахмат………………………………………………4

2. Связь между шахматами и математикой……………………………………..6

2.1.Симметрия в шахматах………………………………………………………6

2.2.Система координат……………….…………………………………………..9

2.3.Чётность и нечётность………………………………………………………10

2.4.Геометрия шахматной доски……………………………………………….11

3.Шахматы и геометрия…………………………………………………………11

4.Шахматы и компьютер..………………………………………………………12

5.Практическая часть.…………………………………………..……………….13

        5.1. Анкетирование………………………………………………..………13

        5.2. Решение задач…………………………………………………………….14 Заключение……………………………………………………………………….15

Список использованнойлитературы……………………………………….…..17

Приложение1

 Математические задачи на шахматную тему………………….……………..18

1.Задачи на раскрашивание шахматной доски…………………………………….18

2.Задачи на разрезание шахматной доски…………………..…………………19

3.Задачи на нахождение числа фигур на шахматной доске, числа путей передвижения фигур……………………………………………………………21

Приложение2

 Математические игры на шахматнойдоске……………………………………..23

1. Игра «Конь и верблюд»……………………………………………………..23

2. Игра «Кошки-мышки» …………………………………………………………….24

3. Игра«Ферзя — в угол» ………………………………………………………24

4. Игра«Тур» коня……………………………………………………………..25

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

Я заинтересовалась темой Шахматы и математика, потомучто с детства играю в эту игру и мне нравиться математика. Те, кто так жеувлекается этим, могут заметить, что в шахматах и математике многородственного.  Для победы в шахматах необходимо логически мыслить, просчитыватькомбинации на несколько ходов вперёд и быть предельно внимательной. В математикетак же не обойтись без логики и точного расчёта. Это доказывает, что формамышления математика и шахматиста довольно близки, а математические способностинередко сосчитаются с шахматными. Среди учёных известно немало сильныхшахматистов, в то же время многие гроссмейстеры имеют математическое илиблизкое к нему образование. Склонность к занятиям математикой проявлялась дажеу чемпионов мира по шахматам. Первый советский чемпион мира М. Ботвинник впоследние годы все силы отдал разработке алгоритма игры в шахматы, и, посуществу, переквалифицировался в метаматематика — прикладника. Шахматы — однаиз более удобных моделей, используемых при разработке методов программирования.Разработка шахматных алгоритмов и компьютерных программ занимались и занимаютсямногие математики в разных странах. Ещё одна точка соприкосновения математики ишахмат — это один из популярных математики, к которому относятся математическиезадачи и игры на шахматной доске. Этот жанр называется шахматной математикой.Например, многие шахматные термины используют математические названия: правилоквадрата, правило треугольника, центр, симметрия и т.д. Выдающийся английскийматематик Г. Харди проведя параллель между этими двумя видами человеческойдеятельности в статье Исповедь математика заметил, что решениепроблем шахматной игры есть не что иное, как математическое упражнение.

Актуальностьданной темы заключается в привлечении учащихся к решениюлогических математических задач, повышении их интереса к математике.

Цельмоей работы — проследить закономерность между шахматами и математикой.

Дляэтого я поставила следующие задачи:

-познакомиться с историей возникновения шахмат;

-выяснить связь между шахматами и математикой;

-собрать и решить математические задачи, сюжетом которых является шахматнаядоска и шахматные фигуры;

-классифицировать математические задачи на шахматную тему по типам;

-выявить используемые при решении таких задач математические методы;

Объектмоего исследования — шахматы.

Предметисследования — математические задачи, связанные с шахматной доской ишахматными фигурами.

В своейработе я использовала следующие методы:

-поисковый метод с использованием научной и учебной литературы, а также поискнеобходимой информации в сети Интернет;

-практический метод решения задач, сюжетом которых являются шахматы;

-анализ данных, полученных в ходе исследования.

1. История возникновения шахмат

Всем знакома такая игра как шахматы.  Но что насчёт игрыЧатуранга?

Чатуранга, что в переводе означаетквадрат, была изобретена в Индии. Именно эта игра являетсяпрародительницей шахмат.

Изначально игра имела не 2 набора по 16 фигур, а 4 набора по 8фигур. В каждом наборе было по 4 пешки, король, ладья, слон и конь. Играливчетвером, а фигуры делились на чёрных, зелёных, жёлтых и красных.

Игра быстро распространялась как на запад, так и на восток. Арабысократили число игроков до двух, для чего одного из королей заменили на ферзя,ввели шах и мат, переименовали игру в шатрандж или шатранг. Именно в их версиюшахмат мы играем сегодня. 

В Юго-Восточной Азии игру так же адаптировали в разных вариациях.В Россию, как и в Европу, шахматы попали из Персии в конце 9-го века. Этоподтверждается археологическими находками и лингвистическими данными: русскиетермины шахматы, слон, ферзь — восточногопроисхождения. Среди находок (всего было найдено около 300 фигур) -древнерусские шахматы, обнаруженные в Киеве, Минске, Гродно, Волковыске,Бресте, Белой Веже и других городах, свидетельствующие о том, что уже в 11-13вв. шахматы были элементом в русском героическом эпосе.

Несмотря на то, что церковь до середины 18 века вела упорнуюборьбу по искоренению шахмат на Руси, они были популярны. Шахматами увлекалисьИван Грозный, Борис Годунов, Алексей Михайлович и другие государственныедеятели.

   На рубеже 17-18 вв., когда культурное общение России и странЦентральной Европы стало более тесным, в России завершился переход от шатранджак современным шахматам.

В начале 18 в. распространению шахмат в России способствовал ПётрI, который был большим любителем игры и вводил её на ассамблеях. В шахматы также играли А. Меншиков, Г. Потёмкин, А. Суворов, Екатерина 2.

 

2. Связь между шахматами и математикой

В первую очередь попробуем найти эту связь. Для этого мырассмотрим шахматную доску. Итак, мы видим, что на шахматной доске естькоординаты, также на ней иметься симметрия и геометрия. (рис. 1).

Рис.1. Шахматная доска

Основываясь на этом, я начала рассматривать эту связь более подробно,а именно на примерах.  

                                        

2.1. Симметрия вшахматах

Симметрия, как общий принцип гармонии в живой природе имеетглубокий смысл. Изучение ее проявлений, закономерностей играет важную роль вматематике, физике, химии, биологии. Если каждую точку данной фигуры сместитькаким-нибудь образом, то мы получим новую фигуру. Говорят, что эта фигураполучена преобразованием из данной. Рассмотрим примерыпреобразования фигур. 

Симметрия относительно точки – центральнаясимметрия

Пусть F –данная фигура и О – фиксированная точка плоскости.Преобразование фигуры F в фигуру F₁,при котором ее каждая точка Х переходит в точку Х₁,симметричную относительно данной точки О, называют преобразованиемсимметрии относительно точки О (рис. 2).

Рис. 2.Симметрия относительно точки

 

              Симметрияотносительно прямой – осевая симметрия

Преобразованиефигуры F в F₁, прикотором каждая точка Х переходит в точку Х₁, симметричнуюотносительно прямой g, называется преобразованиемсимметрии относительно прямой g. При этом фигуры F и F₁ называютсясимметричными относительно прямой g (рис. 3).

Рис. 3. Симметрияотносительно прямой

 

Разнообразные мотивы симметрии встречаются и на шахматной доске. Содной стороны, речь может идти о симметрии естественной, т. е. возникающей впроцессе шахматной партии, а с другой стороны, — используемой в шахматныхзадачах и этюдах.

Симметрия бывает различных типов; наиболее распространенные –осевая и центральная. На шахматной доске при осевой симметрии осью служитпрямая, разделяющая левый и правый фланги доски (граница между вертикалями «d»и «e») или нижнюю и верхнюю части (граница между четвертой и пятой горизонталями).Если, скажем, белый конь стоит на с2, а черный на с7 (рис.4), то мы говорим,что эти кони расположены симметрично. Осями являются и большие диагонали.

Рис. 4. Симметричноерасположение коней на шахматной доске.

 

Симметриейобладает исходное расположение фигур. Известна такая забавная история. Нектоявился в шахматный клуб и объявил, что нашёл верный способ не проигрыватьчёрными. Его спросили — Каким образом?, но что он ответил, чтодостаточно повторять ходы соперника. Сыграть с наивным изобретателем вызвалсяС. Ллойд, который и объявил ему мат в 4 хода. Неясно, как Ллойд это сделал. Мнеизвестны способы поставить мат в 6 ходов при полной симметрии фигур.

1.       с2-с3                                 с7-с6

2.        е2-е3                                 е7-е6

3.        Кg1-е2                              Кg8-е7

4.        Кb1-с3                              Кb8с6

5.        Кс3-е4                              Кс6-е5

6.        Ке4-d6х

                                            

2.2. Система координат

Более чем за 100 лет дон.э. греческий учёный Гиппарх предложил опоясать на карте земной шарпараллелями и меридианами и ввести теперь известные всем географическиекоординаты: широту и долготу — и обозначить их числами.

В 14 в. Французскийматематик Н. Оресм ввёл, по аналогии с географическими, координаты наплоскости. Он предложил покрыть плоскость прямоугольной сеткой и называтьширотой и долготой то, что мы теперь называем абсциссой и ординатой.

Декартовая системакоординат на плоскости задаётся взаимно перпендикулярными координатами прямымис общим началом в точке О и одинаковым масштабом.

Точка О называетсяначалом координат. горизонтальная прямая называется осью ординат или осью y.Координатную плоскость обозначают xOy. Координаты точки обычно указываются вскобках рядом с обозначением точки: Р(х;у) (рис. 4).

Рис.4.Декартова система координат

На шахматной доске тожеесть координаты. При профессиональной игре, обычно, ведут записи (обозначенияфигур и координаты фигур).

На рисунке 5 мы видим,некий алгоритм определения координат чёрного короля.

Рис.5.Определение координат шахматных фигур

2.3.Четность и нечетность

   2.3. Чётность инечётность

Число — одно из основныхпонятий математики, позволяющее выразить результаты счёта или измерения. Современем люди научились не только называть числа, но и обозначать их цифрами(условные знаки для обозначения чисел).

Цифры 2, 4, 6, 8называются чётными, а цифры 1, 3, 5, 7 нечётными. Из признака делимости на 2следует, что натуральные числа, которые делаться на 2, называются чётными,остальные нечётными.

На шахматной доске также есть чётность и нечётность. Тут они связаны с номером хода. При каждом ходекороль меняет чётность хода. Например, первый ход — нечётный, второй — чётный ит.д. (рис. 6)

Рис. 6.Четность и нечетность на шахматной доске

Чётность, нечётность на шахматной доске ещё раз подтверждаютпрямое отношение шахмат к математике.

 

2.4. Геометрия шахматнойдоски

Можно подумать, что привиде шахматной доски мы сразу вспоминаем геометрию (из-за геометрической формыдоски). Это действительно так, но геометрическая форма ещё не всё.

Как в любой другой игре,в шахматах есть правила. И существует такое правило, как правило, квадрата.

Квадратомназывается прямоугольник, у которого все стороны равны. При этой композиции(рис. 7) неопытные шахматисты рассуждают так: пешка идёт сюда, король туда,пешка сюда, король туда и т.д. при этом они часто путаются и, в конце концов,просчитываться.

Рис. 7.Правило квадрата

Однако исход партии легко оценить при помощи «правила квадрата».

Достаточно выяснить, может ли король при своем ходе попасть вквадрат пешки. Итак, в нашей композиции черные при ходе делают ничью (попадаютв квадрат), а при ходе противника проигрывают.

3.  Шахматыи геометрия

Обсуждаяматематические свойства доски, нельзя не упомянуть об одном старинномдоказательстве на шахматной доске — доказательства теоремы Пифагора. Разобьёмдоску на квадрат и четыре одинаковых прямоугольных треугольника (рис. 8). Нарис. 9 изображены те же четыре треугольника и два квадрата. Треугольники вобоих случаях занимают одну и ту же площадь, и, следовательно, ту же самуюплощадь занимают оставшиеся части без треугольников. Поскольку большой квадратпостроен на гипотенузе прямоугольного треугольника, а маленькие на его катетах,то знаменитая теорема Пифагора доказана.

 

 

 

Рис. 8.       Рис. 9

4. Шахматы и компьютер

Уже сама легенда о создании шахмат, в которой мудрец запросил вкачестве награды за изобретённую им игру сумму зёрен пшеницы, расположенных наполях шахматной доски в геометрической прогрессии с шагом два, можнорассматривать как одно из начал информатики, ведь позже будет создана двоичнаясистема счисления и электронные таблицы.  К этому стоит добавить, что всередине века шахматная доска служила вычислительным прибором арабскимматематикам.

Одна из задач человечества — успеть за развитием компьютернойтехники, чтобы не допустить превращение человечества в биологический придатоккомпьютера. Использование шахмат в качестве предметной области при изучениикурса информатики способствует развитию человеческого интеллекта, помогая приэтом понять преимущества и недостатки интеллекта компьютера.

Научить компьютер играть в шахматы – однаиз самых интересных задач в сфере искусственного интеллекта. Она былапоставлена уже на заре вычислительной техники, в конце 50-х годов. В шахматахсуществуют определенные уровни мастерства, степени качества игры, которые могутдать четкие критерии интеллектуального роста машины. Поэтому компьютернымишахматами активно занимались ученые умы во всем мире. Но шахматы – игра,соревнование, и чтобы продемонстрировать свои логические способности,компьютеру необходим непосредственный противник. В 1974 году впервые прошелчемпионат мира по шахматам не между людьми, а между компьютерными программами.Победителем этого состязания стала советская шахматная программа «Каисса».

 

5. Практическая часть

5.1. Анкетирование — для более эффективной работы я решилаузнать у учащихся 4 – 11 классов, играют лиони в шахматы и как относятся к математике, для чего разработал вопросы анкетыи провёл опрос.

Анкета-опрос

1. Насколько ты знаком с игрой в шахматы:

а. только слышал об этой игре;

б. знаю ходы некоторых фигур;

в. уверенно играю с друзьями;

г. участвую в шахматных турнирах

2. Любишь ли ты математику?

(да, не очень, нет)

3. Как ты думаешь, связана ли игра в шахматы с наукой математикой?

(да, нет, затрудняюсь ответить)

В опросе принимало участие 28 человека. Вот какие интересные ипротиворечивые результаты я получила:

1 опрос

2 опрос                            3 опрос

 

 

 

Решениезадач

Задачина четность, нечётность

1.    

Коньвышел на поле А8 и через несколько ходов вернулся на него. Докажите, что онсделал четное число ходов.

Решение: Вы,наверное, заметили, что, делая каждый ход, конь меняет цвет клетки, на которойон стоит. Следовательно: каждый нечетный ход конь будет вставать на чёрнуюклетку. Исходя из этого и зная то, что конь должен вернуться на клетку  А8,белого цвета, мы можем сказать, что он вернется через четное число ходов.

2.Может ли конь пройти с поля a8  на поле h(1), побывав по дороге на каждом изостальных полей ровно один раз? 

 

Решение: Как и впредыдущем задании при каждом ходе конь меняет цвет клетки, на которой онстоит. Следовательно, на доске 63 хода (нечетное число), а8 – белая клетка, при63 ходе конь будет на чёрной клетке.

 

 3.Задача наразделение шахматной доски

Из шахматнойдоски 8*8 вырезали две противоположные угловые клетки. Докажите, что остатокдоски нельзя разделить на доминошки (прямоугольники1*2).

Решение: Таквыглядит доминошка: . На шахматной доске, при удалении двух угловыхклеток (а это либо две белых, либо две чёрных клетки), у нас получится 30чёрных (белых)  и 32 белых (чёрных) . А это значит, что мы не сможем разделитьоставшуюся часть доски на доминошки (так как неравное количество чёрных и белыхклеток).

 

 

 

 

Заключение

Шахматысправедливо считают единственной игрой из всех, придуманных

человеком, в которой сочетаютсяспорт, искусство и наука. Почему шахматы привлекательны для людей разныхвозрастов и профессий? Потому что, играя в шахматы, мы приобретаем многополезных качеств, тренируем память, учимся упорству, находчивости, развиваеммозг. Занятие шахматами способствует развитию математических способностейчеловека. Шахматы – это и вид интеллектуальной борьбы, и соревнование, а любое соревнованиесовершенствует сильные черты личности. Но к шахматам можно относиться и как кнауке со своими законами, принципами. Шахматы содержат в себе элементы научногоисследования – именно такой подход свойствен многим выдающимся шахматистам.Задачи, связанные с шахматной теорией, широко применяются в математике. Математикапомогает шахматистам играть и выигрывать. А шахматы в свою очередь помогают намрешать простейшие и даже самые сложные математические задачи, помогают ребятамразвивать логику, внимание и таким образом знать математику на пять.

Вполне вероятно, что шахматы станут вроссийских школах таким же обязательным предметом, как русский язык иматематика. Мотивировка предельно проста: игра в шахматы поможет учащимсямладших классов освоить азы логики и стратегии, способствует обретению детьмиумения самостоятельно принимать решения, умения учиться, развитию способностидействовать «в уме», а все это вместе взятое приводит к повышению успеваемостидетей по основным предметам школьной программы. Данный шаг приобретает особуюзначимость именно сейчас, когда многие страны мира выражают недовольство своейсистемой образования и актуален поиск новых учебных предметов, включениекоторых в учебные программы способно привести к повышению качества образования.

В ходе работы яисследовала связь математики и шахмат, рассмотрела математические решениязадач, связанных с шахматной доской и шахматными фигурами. Таким образом, цельработы достигнута.                                                                        У меня получилась следующая классификация найденных математическихзадач на шахматную тему: 

• задачи на раскрашивание шахматной доски; 
• задачи на разрезание шахматной доски; 
• задачи на нахождение числа фигур на шахматной доске, числа путей передвижения фигур; 
• шахматы и геометрия.

В работу япоместила лишь некоторые задачи. Но, по моему мнению, их достаточно для того,чтобы показать, что шахматная математика привлекательна и интересна для молодыхлюдей. Многие шахматные задачи до сих пор не решены и заслуживают пристальноговнимания и приложения интеллектуальных сил.  В работе выявлены следующие математические методы, используемыепри решении задач на шахматную тему:

• метод раскраски, разрезания фигур; 
• использование теории игр; 
• использование теории графов; 

 

Вывод: проделанная мною работа для меня очень полезна,она обогатила мои знания как в математике, так и в игре в шахматы. Во-первых,почти в каждом сборнике олимпиадных задач, в многочисленных книгах, посвященныхматематическим головоломкам, содержатся красивые и остроумные задачи с участиемшахматной доски и фигур. Надеюсь, что после тщательного изучения подобныхзадач, их решение не будет вызывать у меня особых затруднений. Во-вторых, приигре в шахматы я могу использовать некоторое математическое видение ситуации.По возможности, буду не только просчитывать будущие шахматные ходы, но ипытаться понять принцип выигрыша.

Список литературы

1.       Александров Г.С., Столяр Е.С.  Многоликая Каисса, -М:Физкультура испорт, 1986

2.       Владимиров Я.Г. 1000 шахматных загадок, -М: Астрель, 2002.

3.       Гик. Е.Я. Шахматы и математика, -М.: Наука, 1976. 

4.       Гик. Е.Я. Занимательные математические игры, — М.: Наука,1987. 

5.       Давыдов С.И. Начинающим шахматистам, -Минск, Беларусь, 2002.

6.       Джон Нанн. Шахматы. Практикум по тактике и стратегии, -М, 2012.

7.       Ласкер Э. Настольные игры и математические задачи, -М: Человек,2014.

8.       Тимощук Н. История в шахматах, — М: Олимпия Пресс, 2007.

 

Список использованных источников информации

1.      https://ru.wikipedia.org/wiki/История­шахмат

2.      http://chess4you.ru/chess-history

3.      http://chesswood.ru/shaxmatnye-zadachi

4.      http://chessvip.ru/index.php/pravila/shahdoska

5.      http://chessfield.ru/chess-puzzles

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приложение 1

Математические задачи на шахматную тему

1.  Задачи на раскрашивание шахматной доски

Задача 1.Художник-авангардист Змий Клеточкин покрасил несколько клеток доски размером8х8, соблюдая правило: каждая следующая закрашиваемая клетка должнасоседствовать по стороне с предыдущей закрашенной клеткой, но не должна — ни содной другой ранее закрашенной клеткой. Ему удалось покрасить 36 клеток.Побейте его рекорд!

                            Рис.12                                                                                          Рис.13

 

 

 

 

Решение: Можнозакрасить 42 клетки.

Задача 2. Отметьте надоске 8х8 несколько клеток так, чтобы любая (в том числе и любая отмеченная)клетка граничила по стороне ровно с одной отмеченной клеткой.

Рис.14

 

 

 

 

 

Задача3. В квадрате 7х7клеток закрасьте некоторые клетки так, чтобы в каждой строке и в каждом столбцеоказалось ровно по три закрашенных клетки.

                                                 Рис.15                  Рис.16

 

 

Вывод: при решении задачна раскрашивание шахматной доски нет какого-то определенного используемогоматематического метода, нужно просто быть внимательным при решении, чтобыучесть все содержащиеся в условии задачи ограничения.

2. Задачи на разрезаниешахматной доски

Средиматематических задач и головоломок о шахматной доске наиболее популярны задачина разрезание доски.

 Вматематических задачах и головоломках на шахматной доске дело, как правило, необходится без участия фигур. Однако доска сама по себе также представляетдостаточно интересный математический объект. Поэтому рассказ о шахматнойматематике я начну с задач о шахматной доске. Прежде всего уместно привестиодну гипотезу, использующую некоторые математические свойства доски. Согласноэтой гипотезе шахматы произошли из так называемых магических квадратов.Магический квадрат порядка nпредставляет собой квадратную таблицу n х n,заполненную целыми числами от 1 до n² иобладающую следующим свойством: сумма чисел каждой строки, каждого столбца, атакже двух главных диагоналей одна и та же. Для магических квадратов порядка 8она равна 260.

 

 

 

 

 

                                                                                 Рис.16

 Закономерность расположения чисел в магическихквадратах придает им волшебную силу искусства. Среди математических задач иголоволомок о шахматной доске наиболее популярны задачи на разрезание доски.Первая из них также связана с легендой.

Задача 1. Один восточный властелин был такимискусным игроком, что за всю жизнь потерпел всего четыре поражения. В честьсвоих победителей, четырех мудрецов, он приказал вставить в его шахматную доскучетыре алмаза — на те поля, на которых был заматован его король (см. рис.17),где вместо алмазов изображены кони). После смерти властелина его сын, слабыйигрок и жестокий деспот, решил отомстить мудрецам, обыгравшим его отца. Онвелел разделить им шахматную доску с алмазами на четыре одинаковые по форме частитак, чтобы каждая заключала в себе по одному алмазу. Хотя мудрецы выполнилитребование нового властелина, он все равно лишил их жизни. Эта задача оразрезании доски часто встречается в занимательной литературе.

 

 

         Рис.17

 

 

Задача 2. Сколько нужно провести разрезов надоске, чтобы пересечь все ее поля? Разумеется, восьми разрезов вполнедостаточно — по одному вдоль каждой вертикали или каждой горизонтали. Однако,оказывается, что и семь прямых могут пересечь все 64 поля доски. Для этого однупрямую нужно провести почти в диагональном направлении через центр доски, ашесть других — в направлениях почти параллельных второй диагонали доски.

  Рис.18.  Семь прямых пресекают всеполя доски

Вывод: задачи нараскрашивание и разрезание доски, по-моему, самые легкие математическиешахматные задачи. Для решения таких задач единого алгоритма нет, нужнынебольшие математические расчеты, хорошее внимание и, конечно, строгиелогические рассуждения.

 

3. Задачи на нахождение числа фигур на шахматной доске,

числа путей передвижения фигур

    Рассмотрим задачи, связанные с шахматными фигурами.

Король –самая медленная фигура в шахматах. С любого места он может переступать толькона соседние поля доски. Однако необычное измерение расстояний на доске лучшевсего иллюстрирует движущийся король.

Задача 1. Какоемаксимальное число королей можно расставить на доске так, чтобы они не угрожалидруг другу, т.е. не стояли рядом?

Решение: Разобьемдоску на 16 квадратов. Если мы хотим, чтобы короли не касались друг друга, то,очевидно, в каждом из этих квадратов надо поместить не более одного из них. Это означает, что больше шестнадцати королей,удовлетворяющих условию задачи, расставить невозможно. Итак, максимальное числомирных королей на доске 8х8 равно 16.

 

 

 

 

 

 

 

Рис.19

Ладья –строгая, прямолинейная фигура. Она тоже часто встречается в математическихзадачах.

Задача 2. Какоенаименьшее число поворотов должна сделать ладья при обходе всех полей доски nхn?

Решение: Ладьядолжна была сделать хотя бы один ход вдоль каждой вертикали или вдоль каждойгоризонтали. Пусть, ладья двигалась хотя бы раз вдоль каждой вертикали. Налюбую из них, кроме тех, где маршрут начался и закончился, ладья должна былавойти и после движения вдоль нее выйти. При этом вход и выход обязательно происходятс поворотами. Таким образом, общее число поворотов не меньше, чем 2(n–2)+1+1=2(n–1).Для любого n маршрут, содержащий ровно столько поворотов, можно получитьиз маршрута, приведенного на рис.20; при n=8 ладья делает 2(8–1)=14поворотов.

Этот маршрутявляется открытым, замкнутый маршрут состоит уже из 16 ходов (рис.20).

 

 

 

 

                               

Рис.19                             Рис.20

Вывод: задачи нанахождение числа фигур на шахматной доске и числа путей передвижения фигурболее сложные, чем задачи на раскрашивание и разрезание доски. Для их решениянужны более сложные расчеты и умение найти математическую закономерность внайденном ряде чисел. Здесь уже большую помощь в решении задачи может оказатьумение играть в шахматы.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приложение2

Математическиеигры на шахматной доске

Необычные игры на шахматной доске придумывают не толькошахматные композиторы-фантасты, но и математики. Правда, последние предпочитаютигры, допускающие, математический анализ; изложенные в виде задач, онипредлагаются на математических олимпиадах или включаются в различные сборники. В математических играх интерес представляет нахождение четкого алгоритма,гарантирующего победу или ничью. Но если алгоритм уже найден, то процесс игры теряеттворческий характер, столь привлекающий нас в интеллектуальных играх. Любопытно,что в эпоху Возрождения была очень популярна специальнаяшахматно-математическая игра арифметические шахматы, или, иначе,рифмомахия. На доске 16*8 передвигались три рода фигур — в форме круга,треугольника и прямоугольника. На каждой фигуре были написаны числа, комбинациикоторых определяли ходы, взятия и объявление мата. Игра требовала слишкомсложных математических расчетов и постепенно была забыта.

1.Игра «Конь и верблюд»

Вуглу доски стоит конь, которым противники ходят по очереди. Первый игрокперемещает его как обычного коня, но с двойным ходом, а второй – как верблюда,то есть на три поля вдоль одной линии и на одно поле – вдоль другой. «Белые»начинают и стремятся поставить фигуру в противоположный угол, а «черные»стараются помешать им. Чем закончится игра?

 Рис.21

 В этом несколько странном соперничестве коня иверблюда (точнее было бы говорить о хамелеоне, превращающемся то в одну фигуру,то в другую) победителем выходит обычный конь. Если наша фигура стоит набольшой диагонали, проходящей через исходное угловое поле, то на любоеотступление верблюда с этой диагонали конь возвращается на нее, причемпродвигается по крайней мере на одно поле ближе к цели. В конце концов онпопадает в нужный угол.

2. Игра«Кошки-мышки»

У первогоигрока всего одна фигура – мышка, а у другого несколько фигур – кошек. Мышка икошки ходят одинаково – на одно поле по вертикали или горизонтали. Если мышкаоказалась на краю доски, то очередным ходом она спрыгивает с нее и убегает откошек; если кошка и мышка попадают на одно поле, то кошка съедает мышку.

Борьбакошек с мышкой протекает на обычной шахматной доске, причем играющие ходят поочереди и второй из них передвигает одним ходом сразу все свои кошки (в любыхнаправлениях). Начинает мышка, которая старается спрыгнуть с доски, а кошкихотят ее съесть.

      Рис.22

 

3. Игра «Ферзя — в угол»

Надоске стоит ферзь, которого два игрока по очереди передвигают на любое числополей либо вверх, либо вправо, либо вверх и вправо по диагонали ( то естьотступать ферзем нельзя). Выигрывает тот, кто своим ходом загоняет ферзя вправый верхний угол доски – на поле h8.

       Рис.23

 

4. Игра «Тур» коня

Этаигра «соло» коня  по всей шахматной доске. Цель ее заключается в том, чтобыпройти конем через все 64 клетки, побывав на каждой только один раз. Существуюттысячи решений, т.к. конь может начинать движение с любой клетки.

     Рис.24